已知:如图,AB是圆O的直径,CM垂直AB于M,交圆O于点E,CA与圆O交于点D,BD交CM于点N.求证:ME·ME=MN·MC
已知:如图,AB是圆O的直径,CM垂直AB于M,交圆O于点E,CA与圆O交于点D,BD交CM于点N.求证:ME·ME=MN·MC
已知:如图,AB是圆O的直径,CM垂直AB于M,交圆O于点E,CA与圆O交于点D,BD交CM于点N.求证:ME·ME=MN·MC
已知:如图,AB是圆O的直径,CM垂直AB于M,交圆O于点E,CA与圆O交于点D,BD交CM于点N.求证:ME·ME=MN·MC
延长CM交⊙O于F
∵AB是圆O的直径
∴AC⊥BD,(那么多相似三角形我不全证了)
∵CE*CF=CD*AC(割线定理),CE=CM-ME,CF=CM+ME
∴(CM-ME)*(CM+ME)=CD*AC,即CM²-ME²=CD*AC
又∵△CDN∽△CMA(因为∠C=∠C,∠CDN=∠CMA)
∴CD:CM=CN:AC,即CM*CN=CD*AC
又∵CM²-ME²=CD*AC(已证)
∴CM*CN=CM²-ME²
即ME²= CM²-CM*CN = CM(CM-CN)=CM*MN
证明:连接AE,BE
易得ME²=MA*MB
∵AB是直径
∴∠ADB=90°=∠BMN
∵∠B=∠B
∴△BMN∽△BDA
∴MN*MC=MB*MA
∴ME²=MN·MC
你连图都没有就说如图!
连接AE、EB
∠EAB+∠AEM=90°
∠EAB+∠ABE=90°
所以∠AEM=∠ABE
同理∠EAB=∠MEB
∴△AEM∽△EBM
∴AM/EM=EM/BM
∴AM*BM=EM²
∠C=90-∠CAM=∠NBM
∠CMA=∠BMN=90°
∴△CMA∽△BMN
∴MN/AM=MB/CM
∴AM*BM=MN*MC
∴EM²=MN*MC
证△AMC与△NMB相似
连AE BE 证RT三角形AEB
射影定理证
因为△AMC与△NMB相似
AM比MN等于MC比MB
所以ME的平方等于MN*MC