三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)=sin A cos B +sin B cos A,所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.(*)又因为 A,B 为锐角,所以 sin A>0,sin B>0.(1)
三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)=sin A cos B +sin B cos A,所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.(*)又因为 A,B 为锐角,所以 sin A>0,sin B>0.(1)
三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状
因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)
=sin A cos B +sin B cos A,
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.(*)
又因为 A,B 为锐角,
所以 sin A>0,sin B>0.
(1) 若 A+B =π/2,
则 cos B =cos (π/2 -A) = sin A,
cos A =cos (π/2 -B) = sin B.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.
满足条件(*).
此时,C =π -(A+B) =π/2.
即 ΔABC 为直角三角形.
(2) 若 A+B >π/2,
则 A >π/2 -B,
B >π/2 -A.
又因为 A,B,π/2-A,π/2-B是锐角,
所以 sin A >sin (π/2 -B) =cos B,
sin B >sin (π/2 -A) =cos A.
所以 sin A -cos B >0,
sin B -cos A >0.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) >0.
不满足条件(*).
所以 A+B >π/2 不成立.
(3) 若 A+B
三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)=sin A cos B +sin B cos A,所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.(*)又因为 A,B 为锐角,所以 sin A>0,sin B>0.(1)
令 x =sin A,
y =sin B.
因为 A,B 是锐角,
所以 x>0,y>0,
且 cos A =√(1 -x^2),
cos B =√(1 -y^2).
又因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)
=sin A cos B +cos A sin B,
所以 x^2 +y^2 =x √(1 -y^2) +y √(1 -x^2).
所以 x [ x -√(1 -y^2) ] =y [√(1 -x^2) -y ].
分子有理化得,
x (x^2 +y^2 -1) / [ x +√(1 -y^2) ] = -y (x^2 +y^2 -1) / [ √(1 -x^2) +y ].
又因为 x / [ x +√(1 -y^2) ] >0,
-y / [√(1 -x^2) +y ]
因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)
=sin A cos B +sin B cos A,
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0. (*)
又因为...
全部展开
因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)
=sin A cos B +sin B cos A,
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0. (*)
又因为 A,B 为锐角,
所以 sin A>0, sin B>0.
(1) 若 A+B =π/2,
则 cos B =cos (π/2 -A) = sin A,
cos A =cos (π/2 -B) = sin B.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.
满足条件(*).
此时, C =π -(A+B) =π/2.
即 ΔABC 为直角三角形.
(2) 若 A+B >π/2,
则 A >π/2 -B,
B >π/2 -A.
又因为 A, B, π/2-A, π/2-B是锐角,
所以 sin A >sin (π/2 -B) =cos B,
sin B >sin (π/2 -A) =cos A.
所以 sin A -cos B >0,
sin B -cos A >0.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) >0.
不满足条件(*).
所以 A+B >π/2 不成立.
(3) 若 A+B <π/2,
则 A <π/2 -B,
B <π/2 -A.
所以 sin A
sin B -cos A <0.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) <0.
不满足条件(*).
所以 A+B >π/2 不成立.
综上, ΔABC 为直角三角形.
= = = = = = = = =
这题利用一个结论:
设 A,B 为锐角.
(1) 若 sin A >cos B , 则 sin B >cos A.
(2) 若 sin A
即 sin A -cos B 与 sin B -cos A 同号.
除了这种解法外,还有其他的解法吗?
非常希望得到你的帮助!
收起
有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sin(A+B)
==>sinA=a/r sinB=b/r sinC=c/r
代入 ==> a^2/r^2+ b^2/r^2= c^2/r^2
==> a^2+b^2=c^2
==> ΔABC 为直角三角形
有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
==>有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sin(A+B)
==>sinA=a/r sinB=b/r sinC=c/r
代入 ==> a^2/r^2+ b^2/r^2= c^2/r^2
==> a^2+b^2=c^2
==> ΔABC 为直角三角形.