作业帮已知函数f(x)=(ax^2+x)e^x,其中e是自然数的底数,a属于R （1）当a0,(2)若f(x）在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围 （3）当a=0时,求整数K的所有值,使方程f(x)=x+2在[K,k+1]上有解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 14:46:22
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已知函数f(x)=(ax^2+x)e^x,其中e是自然数的底数,a属于R （1）当a0,(2)若f(x）在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围 （3）当a=0时,求整数K的所有值,使方程f(x)=x+2在[K,k+1]上有解
已知函数f(x)=(ax^2+x)e^x,其中e是自然数的底数,a属于R （1）当a0,(2)若f(x）在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围 （3）当a=0时,求整数K的所有值,使方程f(x)=x+2在[K,k+1]上有解
已知函数f(x)=(ax^2+x)e^x,其中e是自然数的底数,a属于R （1）当a0,(2)若f(x）在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围 （3）当a=0时,求整数K的所有值,使方程f(x)=x+2在[K,k+1]上有解
∵e^x>0,f(x)>0
∴ax^2+x>0
∴ax(x+1/a)>0
解得x∈(0,-1/a）
求导f'(x)=（ax^2+x）'(e^x)+(e^x)'(ax^2+x)
=（2ax+1）(e^x)+(e^x)(ax^2+x)
=2axe^x+e^x+ax^2e^x+xe^x
=e^x(ax^2+x+2ax+1)
依题意,可知在区间[-1,1]上,f'(x)>0
∵e^x>0,∴令g(x)=ax^2+(2a+1)x+1>0
①a=0,则x+1>0,x>-1,符合题意
②a>0,则g(x)开口向上
对称轴-1-1/2a<-1
∴g(-1)=a-2a-1+1=-a>0
∵a>0,∴-a<0
不合题意,舍去
③a<0,则g(x)开口向下
∴g(-1)≥0,g(1)≥0
∴-a≥0,3a+2≥0
∴-2/3≤a<0
综上所述,a∈[-2/3,0]
∵令F(x)=x(e^x)-x-2
F（x）在在[K,k+1]上有解
F'(x)=e^x+xe^x-1
∵F'(x)在（0,+∞）上大于0,在（-∞,0）上小于0
所以F（x）在区间（0,+∞）上递增,在区间（-∞,0）递减
F（0）=-2<0
∴F（x）=0有两个解,分别在区间（0,+∞）和（-∞,0）上
F(1)=e-3<0,F（2）=2e^2-4>0
F(-1)=-1/e-1<0,F(-2)=-2/e^2<0,F(-3)=-3/e^3+1>0
∴F（x）=0的两个解分别在区间(1,2)和(-3,-2)
所以K=1或-3
哪里不理解的话可以追问