已知当x∈【0,1】时,不等式x^2cosa -x(1-x)+(1-x)^2sin a>0恒成立,试求a的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 18:07:25
已知当x∈【0,1】时,不等式x^2cosa -x(1-x)+(1-x)^2sin a>0恒成立,试求a的取值范围

已知当x∈【0,1】时,不等式x^2cosa -x(1-x)+(1-x)^2sin a>0恒成立,试求a的取值范围
已知当x∈【0,1】时,不等式x^2cosa -x(1-x)+(1-x)^2sin a>0恒成立,试求a的取值范围

已知当x∈【0,1】时,不等式x^2cosa -x(1-x)+(1-x)^2sin a>0恒成立,试求a的取值范围
设f(x) = x^2cosa -x(1-x)+(1-x)^2sin a = x^2 * (cos a + sin a + 1) - x * (1 + 2sin a) + sin a
1.由f(0)>0,得sin a > 0;
2.由f(1)>0,得cos a > 0;
3.f '(x) = 2x * (cos a + sin a + 1) - (1 + 2sin a),由sin a > 0、cos a > 0(即a属于第一象限)
可知 f '(x) = 2x * (cos a + sin a + 1) - (1 + 2sin a)=0时,
0 < x' = (1 + 2sin a)/2(cos a + sin a + 1)0 ,得 4cos a * sin a > 1,即 sin 2a > 1/2.(2a大于30度)
因为为2次函数,所以只要f (0) >0,f (1) >0,f (x') >0 即可,
综上可知,a∈(15°+ k360°,90°+ k360°),其中k∈Z