1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 00:22:30
![1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2](/uploads/image/z/1050066-18-6.jpg?t=1%5E3%2B2%5E3%2B3%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D%281%2B2%2B3%2B...%2Bn%29%5E2%E7%94%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95%E8%AF%81%E6%98%8E%E7%94%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95%E8%AF%81%E6%98%8E1%5E3%2B2%5E3%2B3%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D%281%2B2%2B3%2B...%2Bn%29%5E2)
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明
用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2
当n=1时,左边=1³=1,右边=1²=1,等式成立.
假设当n=k时,等式成立,即
1³+2³+3³+...+k³=(1+2+3+...+k)²=k²(k+1)²/4,
则当n=k+1时,
1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³=k²(k+1)²/4+(k+1)³=[(k+1)²/4]×[k²+4(k+1)]=[(k+1)²/4]×(k+2)²=(k+1)²(k+2)²/4
=(k+1)²[(k+1)+1]²/4=[1+2+3+...+k+(k+1)]²,
所以,等式也成立,
综上,对一切正整数n,等式1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²都成立.
n=1时,命题显然成立
假设N=K时,命题成立N=K+1时:
1^3+2^3+3^3+...+(K+1)^3=(1+2+3+...+K)^2+(K+1)^3=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
=[k^2+4(k+1)](k+1)^2/4=(k+2)^2(k+1)^2/4=(1+2+3+...+k+1)^2
所以,命题对所有正整数成立