已知椭圆GX^2\4+Y^2=1,点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线交椭圆于A B两点,若|AB|=2 ,求m的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 01:30:35
![已知椭圆GX^2\4+Y^2=1,点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线交椭圆于A B两点,若|AB|=2 ,求m的值](/uploads/image/z/10759636-28-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86GX%5E2%5C4%2BY%5E2%3D1%2C%E7%82%B9%28m%2C0%29%E5%81%9A%E5%9C%86X%5E2%2BY%5E2%3D1%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%BA%8EA+B%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5%7CAB%7C%3D2+%2C%E6%B1%82m%E7%9A%84%E5%80%BC)
已知椭圆GX^2\4+Y^2=1,点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线交椭圆于A B两点,若|AB|=2 ,求m的值
已知椭圆GX^2\4+Y^2=1,点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线交椭圆于A B两点,若|AB|=2 ,求m的值
已知椭圆GX^2\4+Y^2=1,点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线交椭圆于A B两点,若|AB|=2 ,求m的值
没想到有什么简单的方法,硬算吧
首先讨论一下切线斜率是否存在
若切线斜率不存在,则必有m=1或-1,则易算得|AB|=√3,不满足
若切线斜率存在,设切线y=k(x-m),设A(x1,y1) B(x2,y2)
由相切知,圆心到切线距离等于半径,即:|km|/√(1+k²)=1
得到:m²k²=k²+1 (1)
然后联立直线和椭圆:
(1+4k²)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
韦达定理得:x1+x2=8k²m/(1+4k²)
x1x2=(4k²m²-4)/(1+4k²)
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(1+k²)[ [64k⁴m²/(1+4k²)²]-[4(4k²m²-4)/(1+4k²)] ] (1)带入得到
=(4√3|m|)/(m²+3) (2)
=2
则解得m=±√3