已知函数f(x)=x²+1/x².(1)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明;(2)写出函数f(x)=1/x²的单调区间.并说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 08:49:51
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已知函数f(x)=x²+1/x².(1)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明;(2)写出函数f(x)=1/x²的单调区间.并说明理由
已知函数f(x)=x²+1/x².(1)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明;(2)写出函数f(x)=1/x²的单调区间.并说明理由
已知函数f(x)=x²+1/x².(1)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明;(2)写出函数f(x)=1/x²的单调区间.并说明理由
(1)单调递减
设在(0,+∞)有x1,x2(x1<x2)
f(x1)-f(x2)=(x1+x2)(x1-x2)+1/x1^2-1/x2^2=(x1^2-x2^2)(x1x2-1)/x1x2
∵x₁²-x₂²<0,x1x2-1<0
∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)
∴单调递减
(2)在(-∞,0)增,(0,+∞)减
f′(x)=(m+1/m)/x-1/x²-1=-(x-m)(x-1/m)/x²,令f′(x)=0,得x=m或x=1/m9463显然95m≠0951若m<0,则在区间(0,1)上,恒有f′(x)<0,所以f(x)在区间(0nr1)上单调递减;若0<m<1,则1/m>1,易得f(x)在区间(0,m...
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f′(x)=(m+1/m)/x-1/x²-1=-(x-m)(x-1/m)/x²,令f′(x)=0,得x=m或x=1/m9463显然95m≠0951若m<0,则在区间(0,1)上,恒有f′(x)<0,所以f(x)在区间(0nr1)上单调递减;若0<m<1,则1/m>1,易得f(x)在区间(0,m)上单调递减,在区间(m,1)上单调递增;若m=1,则在区间(0,1)上,恒有f′(x)<0,所以f(x)在区间(0,1)上单调递减;若m>1,则0<1/m<1,易得f(x)在区间(0,1/m)上单调递减,在区间(1/m,1)上单调递增9
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