已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,(x>0),求证:(1+1·2)(1+2·3)(1+3·4)···(1+n(n+1))>e^(2n-3)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 01:14:35
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已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,(x>0),求证:(1+1·2)(1+2·3)(1+3·4)···(1+n(n+1))>e^(2n-3)
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,(x>0),求证:(1+1·2)(1+2·3)(1+3·4)···(1+n(n+1))>e^(2n-3)
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,(x>0),求证:(1+1·2)(1+2·3)(1+3·4)···(1+n(n+1))>e^(2n-3)
(1+1·2)(1+2·3)(1+3·4)···(1+n(n+1))>e^(2n-3)
不等式两边同时取以e为底的对数得
ln((1+1·2)(1+2·3)(1+3·4)···(1+n(n+1)))>2n-3
即ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+n(n+1))>2n-3
可以利用数学归纳法证明
①当n=1时 左边=ln3>0 右边=-1
显然成立
②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立
③假设n=k-1时成立 k≥3
即ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+(k-1)k)>2k-5
那么n=k时
ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k+1))
=ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k-1))+ln(1+k(k+1))
>2k-5+ln(1+k(k+1))
∵当k≥3时 ln(1+k(k+1))>2
∴ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k+1))
>2k-5+2=2k-3
也满足不等式
综上所述ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+n(n+1))>2n-3成立 n≥1
这道题我不太清楚为什么给个函数 可能没发现其用处
希望我的证法能给你启发.
自己算。。。。。