在RT三角形ABC中,AC=BC,角ACB=90°,D是斜边AB上任意一点,AE垂直CD于E,BF垂直CD交CD的延长线于F,CH垂直AB于H,交AE于G,求证BD=CG
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 22:21:51
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在RT三角形ABC中,AC=BC,角ACB=90°,D是斜边AB上任意一点,AE垂直CD于E,BF垂直CD交CD的延长线于F,CH垂直AB于H,交AE于G,求证BD=CG
在RT三角形ABC中,AC=BC,角ACB=90°,D是斜边AB上任意一点,AE垂直CD于E,BF垂直CD交CD的延长线于F,CH垂直AB于H,交AE于G,求证BD=CG
在RT三角形ABC中,AC=BC,角ACB=90°,D是斜边AB上任意一点,AE垂直CD于E,BF垂直CD交CD的延长线于F,CH垂直AB于H,交AE于G,求证BD=CG
证明:
因为AC=BC ∠ACB=90°
∴∠CAB=∠CBA=45°
又CH⊥AB
∴∠BCH=∠CAB=45°
AE⊥CE
∴∠DCH=∠DAE(同为∠ADE余角)
∴45°-∠DAE=45°-∠DCH
∠CAE=∠BCD
∠CBD=∠ACG=45°
BC=AC
∴△BCD≅△CAG
∴BD=CG
本题用四点共圆更简捷.BF⊥CD好像不必要吧?
∵CH⊥AB,AE⊥CF
∴∠AHC=∠AED=90°
∵∠EAD公用
∴∠AGH=∠ADE
∵∠AGH=∠CGE ∠BDF=∠ADE (对顶角相等)
∴∠CGE=∠BDF
∵CD⊥AE BF⊥CF
∴△CGE∽△BDF (角,角,角对应相等,两三角形相似)
∵∠ECG=∠DBF
∴∠ECA=∠ECG+4...
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∵CH⊥AB,AE⊥CF
∴∠AHC=∠AED=90°
∵∠EAD公用
∴∠AGH=∠ADE
∵∠AGH=∠CGE ∠BDF=∠ADE (对顶角相等)
∴∠CGE=∠BDF
∵CD⊥AE BF⊥CF
∴△CGE∽△BDF (角,角,角对应相等,两三角形相似)
∵∠ECG=∠DBF
∴∠ECA=∠ECG+45°=∠DBF+45°=∠CBF
∵∠EAD=∠DCG
∴∠CAE=45°-∠EAD=45°-∠DCG=∠BCF
∵AC=BC
∴△AEC≌△CFB (两角夹一边相等,两三角形全等)
∵CE=BF
∴△CGE≌△BDF (对应边相等的相似三角形是全等三角形)
即:BD=CG
证毕。
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