1.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)]=f(x),则这样 的函数个数有 几个?答案是10个……为什么……?2.函数f(x)对任意的a、b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b) -1,并且当x>0时,f(x)>1,求证:f(x)是R上的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 03:36:40
![1.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)]=f(x),则这样 的函数个数有 几个?答案是10个……为什么……?2.函数f(x)对任意的a、b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b) -1,并且当x>0时,f(x)>1,求证:f(x)是R上的](/uploads/image/z/11665122-42-2.jpg?t=1.%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%9A%EF%BD%9B1%2C2%2C3%EF%BD%9D%E2%86%92%EF%BD%9B1%2C2%2C3%EF%BD%9D%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%5Bf%28x%29%5D%3Df%28x%29%2C%E5%88%99%E8%BF%99%E6%A0%B7+%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%AA%E6%95%B0%E6%9C%89+%E5%87%A0%E4%B8%AA%3F%E7%AD%94%E6%A1%88%E6%98%AF10%E4%B8%AA%E2%80%A6%E2%80%A6%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E2%80%A6%E2%80%A6%3F2.%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84a%E3%80%81b%E5%B1%9E%E4%BA%8ER%2C%E9%83%BD%E6%9C%89f%EF%BC%88a%2Bb%EF%BC%89%3Df%28a%29%2Bf%28b%29+-1%2C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E5%BD%93x%EF%BC%9E0%E6%97%B6%2Cf%EF%BC%88x%EF%BC%89%EF%BC%9E1%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Af%28x%29%E6%98%AFR%E4%B8%8A%E7%9A%84)
1.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)]=f(x),则这样 的函数个数有 几个?答案是10个……为什么……?2.函数f(x)对任意的a、b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b) -1,并且当x>0时,f(x)>1,求证:f(x)是R上的
1.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)]=f(x),则这样 的函数个数有 几个?
答案是10个……为什么……?
2.函数f(x)对任意的a、b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b) -1,并且当x>0时,f(x)>1,求证:f(x)是R上的增函数.
分不多了……将就一下 吧……
1.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)]=f(x),则这样 的函数个数有 几个?答案是10个……为什么……?2.函数f(x)对任意的a、b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b) -1,并且当x>0时,f(x)>1,求证:f(x)是R上的
1.
f[f(x)]=f(x)
则就是:f(x)=x
现在的问题就是映射的问题.
f:A→B,A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应,显然B中的某些元素可能没有原像.所有原像的集合就是A,是函数f的定义域,所有像的集合就是值域,显然值域是B的一个非空子集.
题目中,没有说第二个{1,2,3}是值域,那么其中的某些元素没有原像.而第一个{1,2,3}是原像集合,每一个元素都有像与之对应,因此分类讨论的基准就是第二个{1,2,3}哪些元素有原像.
【1】{1,2,3}只有一个元素有原像,比如说1有原像,2.3没有原像.那么就是{1,2,3}→{1},那么满足f(x)=x的有f(1)=1;当然也可以只有2或者3只有原像,因此这是三对一(三个原像对应一个像)情况,这样的函数有3个.
【2】{1,2,3}1和2有原像,{1,2,3}→{1,2}这样就是三对二的映射,满足函数的有f(1)=1,f(2)=2;当然也可以是1,3或2,3有原像,因此此时有6个这样的函数.
【3】{1,2,3}全部有原像,即他就是值域,{1,2,3}→{1,2,3},只能是这样的映射{1}→{1},{2}→{2},{3}→{3}只有一个这样的函数.【注意:这里f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,三个函数表达式,是一个函数,不是三个函数】
计算函数个数的时候由映射关系来确定.
2.
任取x1>x2
由f(a+b)= f(a)+ f(b)-1 令a=x2,b=x1-x2
有f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1
b=x1-x2>0 f(x1-x2)>1
f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1>f(x2)
则可知对任意X1>X2时都有f(X1)>f(X2)
∴f(x)是R上的增函数
1.设f(a)=b,则f[f(a)]=f(b)=f(a)=b,则必有数是自对自。
(1)只有一个数自对自,如1对1,则其他两个数必定对这个数,即2,3都对1.那么有3种情况,即1,2,3
(2)有两个数都是自对自,如1对1,2对2,则3即可对1 ,也可对2.那么有3x2=6种情况
(3)三个数都自对自,只有一种情况
所以 共3+6+1=10中情况
2.任取X...
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1.设f(a)=b,则f[f(a)]=f(b)=f(a)=b,则必有数是自对自。
(1)只有一个数自对自,如1对1,则其他两个数必定对这个数,即2,3都对1.那么有3种情况,即1,2,3
(2)有两个数都是自对自,如1对1,2对2,则3即可对1 ,也可对2.那么有3x2=6种情况
(3)三个数都自对自,只有一种情况
所以 共3+6+1=10中情况
2.任取X1,X2,使得X1大于X2。由已知得,f(X1)=f(X2)+f(X1-X2)-1,则f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-1,X1-X2大于0,所以f(X1-X2)大于1.所以f(X1)大于f(X2),递增
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