常系数微分方程求解设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1)=2,φ‘(1)=1,求φ(x)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 01:44:52
![常系数微分方程求解设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1)=2,φ‘(1)=1,求φ(x)](/uploads/image/z/12360538-10-8.jpg?t=%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%AE%BE%CF%86%28x%29%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%8F%AF%E5%BE%AE%2C%E4%BB%BB%E6%84%8F%E9%97%AD%E6%9B%B2%E7%BA%BFc%E6%9C%89%E2%88%AE2y%CF%86%28x%29dx-x%5E2%CF%86%27%28x%29dy%3D0%2C%E5%8F%88%CF%86%281%EF%BC%89%3D2%2C%CF%86%E2%80%98%281%EF%BC%89%3D1%2C%E6%B1%82%CF%86%28x%EF%BC%89)
常系数微分方程求解设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1)=2,φ‘(1)=1,求φ(x)
常系数微分方程求解
设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1)=2,φ‘(1)=1,求φ(x)
常系数微分方程求解设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1)=2,φ‘(1)=1,求φ(x)
易得f(x)满足微分方程x^2f''(x)+2xf'(x)+2f(x)=0,f(1)=2,f'(1)=1.
令x=e^t,t=lnx,则f'(x)=df/dx=df/dt*dt/dx=df/dt*1/x,f(e^0)=2,
f''(x)=d(df/dx)/dx=d(df/dt*1/x)/dx=d^2f/dt^2*dt/dx*1/x+df/dt*d(1/x)/dx
=d^2f/dt^2*1/x^2-df/dt*1/x^2,代入微分方程有
d^2f/dt^2+df/dt+2f(t)=0.
特征根是【-1+根号(7)i】/2,【-1-根号(7)i】/2,因此通解为
f(t)=e^(-t/2)(C1cos[根号(7)t/2]+C2sin[根号(7)t/2]),利用初值得
f(t)=e^(-t/2)(2cos[根号(7)t/2]+4根号(7)/7*sin[根号(7)t/2]),再将t=lnx代入可得f(x)的表达式.
f(x)=1/根号(x)*【2cos[根号(u)lnx/2]+4根号(7)/7*sin[根号(7)lnx/2]】.
是不是哪一步做错了?怎么这么麻烦?你自己再检查一下吧,原理就是这样的.