如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,以AB为边长做正方形ABDE,点D在边BC上,AC与DE交于点F,点G位BD上一点,且满足∠GAF=∠EAF.(1)若AB=1,BC=2求DG的长(2)求证:AG=BG+EF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 06:47:11
![如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,以AB为边长做正方形ABDE,点D在边BC上,AC与DE交于点F,点G位BD上一点,且满足∠GAF=∠EAF.(1)若AB=1,BC=2求DG的长(2)求证:AG=BG+EF](/uploads/image/z/12364166-38-6.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8Rt%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0B%3D90%C2%B0%2CBC%3EAB%2C%E4%BB%A5AB%E4%B8%BA%E8%BE%B9%E9%95%BF%E5%81%9A%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABDE%2C%E7%82%B9D%E5%9C%A8%E8%BE%B9BC%E4%B8%8A%2CAC%E4%B8%8EDE%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2C%E7%82%B9G%E4%BD%8DBD%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E2%88%A0GAF%3D%E2%88%A0EAF.%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%8B%A5AB%3D1%2CBC%3D2%E6%B1%82DG%E7%9A%84%E9%95%BF%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAG%3DBG%2BEF)
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,以AB为边长做正方形ABDE,点D在边BC上,AC与DE交于点F,点G位BD上一点,且满足∠GAF=∠EAF.(1)若AB=1,BC=2求DG的长(2)求证:AG=BG+EF
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,以AB为边长做正方形ABDE,点D在边BC上,AC与DE交于点F,点G位BD上一点,
且满足∠GAF=∠EAF.
(1)若AB=1,BC=2求DG的长
(2)求证:AG=BG+EF
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,以AB为边长做正方形ABDE,点D在边BC上,AC与DE交于点F,点G位BD上一点,且满足∠GAF=∠EAF.(1)若AB=1,BC=2求DG的长(2)求证:AG=BG+EF
(1)若AB=1,BC=2求DG的长
∵∠1=∠2,且AE∥BC
∴∠C=∠1=∠2,
∴△AGC是等腰三角形,AG=GC
设DG=x,在直角△ABG中,根据勾股定理,可得到BG²+AB²=AG²=GC²
(1-x)²+1²=(1+x)²
1-2x+x²+1=1+x²+2x
解得x=1/4
DG=1/4
(2)求证:AG=BG+EF
∵∠1=∠2,且AE∥BC
∴∠C=∠1=∠2,
∴△AGC是等腰三角形,AG=GC
如果仍然是AB=1,BC=2,那么
设DG=x,在直角△ABG中,根据勾股定理,可得到BG²+AB²=AG²=GC²
AG²=(1-1/4)²+1²=25/16
AG=5/4,
由于DF平行于AB,且D为BC中点,所以,DF是△ABC的中位线,F是AC的中点,
DF=1/2,EF=1/2,
则BG+EF=3/4+1/2=5/4=AG
【若不限定BC的长度,更一般的证明】
【∵∠1=∠2,且AE∥BC
∴∠C=∠1=∠2,
∴△AGC是等腰三角形,AG=GC
设DG=x,在直角△ABG中,根据勾股定理,可得到BG²+AB²=AG²=GC²,又BD=AB=AE=DE
(AB-x)²+AB²=(DC+x)²