作业帮麻烦会的教下已知A,B,C都是非负实数,求证:(根号A^2+B^2)+(根号B^2+C^2)+(根号C^2+A^2)>=(根号2)[(根号AB)+(根号BC)+(根号AC)]
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 21:47:37
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麻烦会的教下已知A,B,C都是非负实数,求证:(根号A^2+B^2)+(根号B^2+C^2)+(根号C^2+A^2)>=(根号2)[(根号AB)+(根号BC)+(根号AC)]
麻烦会的教下
已知A,B,C都是非负实数,求证:(根号A^2+B^2)+(根号B^2+C^2)+(根号C^2+A^2)>=(根号2)[(根号AB)+(根号BC)+(根号AC)]
麻烦会的教下已知A,B,C都是非负实数,求证:(根号A^2+B^2)+(根号B^2+C^2)+(根号C^2+A^2)>=(根号2)[(根号AB)+(根号BC)+(根号AC)]
因为AB是非负实数,
所以（A-B)^2>=0
所以A^2+B^2-2AB>=0
所以A^2+B^2>=2AB（定理）
所以:(根号A^2+B^2）〉=根号2*根号AB
同理可得根号A^2+B^2)+(根号B^2+C^2)+(根号C^2+A^2)>=(根号2)[(根号AB)+(根号BC)+(根号AC)]
A^2+B^2≥2AB
所以√(A^2+B^2)≥√2AB
同理√(B^2+C^2)≥√2BC
√(C^2+A^2)≥√2AC
所以√(A^2+B^2)+√(B^2+C^2)+√(C^2+A^2)≥√2AB+√2BC+√2AC
=√2(√AB+√BC+√AC)