已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上,最后竟直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 01:43:51
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已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上,最后竟直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是
已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上,最后竟直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是
已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上,最后竟直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是
设光线与AB的交点为C,与OB的交点为D,连接CP,DP,延长CD、BO交于点P',过A作OA的垂线交DC延长线于P'',过D作BO的垂线交AB于Q,过C作AB的垂线交AO于N,连接PP''
根据光线的反射原理可知DQ为∠CDP的平分线,故有∠QDC=∠QDP,而因为QD⊥OB,且坐标系中必有AO⊥BO,所以DQ‖OA,根据平行线的性质有∠QDC=∠CP'A,∠QDP=∠DPO,所以有∠CP'A=∠DPO,而在△DOP'与△DOP中,显然有∠DOP'=∠DOP=90度,而OD为公共边,所以有△DOP'≌△DOP,P'D=DP,P'O=PO=2
同理,由光的反射原理有NC平分∠DCP,∠NCD=∠NCP的结论,而根据A(4,0),B(0,4)可算出AB斜率为-1,从而由图中得出∠BAO=45度,而P''A⊥OA,∠P''AO=90度,于是有∠P''AB=45度,所以∠BAO=∠P''AC,由所作辅助线知NC⊥AB,所以有∠NCP+∠PCA=90度,于是∠DCN+∠P''CA=180度-90度=90度,所以∠PCA=∠P''CA,于是在△ACP和△ACP''中,有两对角相等,且有一对公共边,两个三角形全等,所以有P''A=PA=(OA-OP)=4-2=2,P''C=PC
光线所经过的路程等于PC+CD+DP=P''C+CD+DP'=P'P'',在Rt△P'AP''中,P''A已求为2,P'A=P'0+OA=2+4=6,所以用勾股定理可得P'P''=√(2^+6^)=2√10
P关于AB的对称点为P1(4,2),P1关于x=0的对称点为P2(-4,2). PP2方程:y=-(x-2)/3.F(0,2/3).FP1方程:y=(x+2)/3。E(2.5,1.5) 光线所经过的路程是 P(2,0)→E(2.5,1.5)→F(0,2/3)→P(2,0)
三角形相似
P关于AB的对称点为P1(4,2),P1关于x=0的对称点为P2(-4,2).
PP2方程:y=-(x-2)/3.F(0,2/3).FP1方程:y=(x+2)/3。E(2.5,1.5)
光线所经过的路程是 P(2,0)→E(2.5,1.5)→F(0,2/3)→P(2,0)
设光线与AB的交点为C,与OB的交点为D,连接CP,DP,延长CD、BO交于点P',过A作OA的垂线...
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P关于AB的对称点为P1(4,2),P1关于x=0的对称点为P2(-4,2).
PP2方程:y=-(x-2)/3.F(0,2/3).FP1方程:y=(x+2)/3。E(2.5,1.5)
光线所经过的路程是 P(2,0)→E(2.5,1.5)→F(0,2/3)→P(2,0)
设光线与AB的交点为C,与OB的交点为D,连接CP,DP,延长CD、BO交于点P',过A作OA的垂线交DC延长线于P'',过D作BO的垂线交AB于Q,过C作AB的垂线交AO于N,连接PP''
根据光线的反射原理可知DQ为∠CDP的平分线,故有∠QDC=∠QDP,而因为QD⊥OB,且坐标系中必有AO⊥BO,所以DQ‖OA,根据平行线的性质有∠QDC=∠CP'A,∠QDP=∠DPO,所以有∠CP'A=∠DPO,而在△DOP'与△DOP中,显然有∠DOP'=∠DOP=90度,而OD为公共边,所以有△DOP'≌△DOP,P'D=DP,P'O=PO=2
同理,由光的反射原理有NC平分∠DCP,∠NCD=∠NCP的结论,而根据A(4,0),B(0,4)可算出AB斜率为-1,从而由图中得出∠BAO=45度,而P''A⊥OA,∠P''AO=90度,于是有∠P''AB=45度,所以∠BAO=∠P''AC,由所作辅助线知NC⊥AB,所以有∠NCP+∠PCA=90度,于是∠DCN+∠P''CA=180度-90度=90度,所以∠PCA=∠P''CA,于是在△ACP和△ACP''中,有两对角相等,且有一对公共边,两个三角形全等,所以有P''A=PA=(OA-OP)=4-2=2,P''C=PC
光线所经过的路程等于PC+CD+DP=P''C+CD+DP'=P'P'',在Rt△P'AP''中,P''A已求为2,P'A=P'0+OA=2+4=6,所以用勾股定理可得P'P''=√(2^+6^)=2√10
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