已知函数f (x)=x^3+ (3/2)(1-a)x^2-3ax+1,a>0.(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 15:44:51
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已知函数f (x)=x^3+ (3/2)(1-a)x^2-3ax+1,a>0.(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.
已知函数f (x)=x^3+ (3/2)(1-a)x^2-3ax+1,a>0.
(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;
(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.
已知函数f (x)=x^3+ (3/2)(1-a)x^2-3ax+1,a>0.(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.
(Ⅰ) 由于 f′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且a>0,
故f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
又f (0)=1,f (a)=-12a3-32a2+1=12(1-a)(a+2)2-1.
当f (a)≥-1时,取p=a.
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.
当f (a)<-1时,由于f (0)+1=2>0,f (a)+1<0,
故存在p∈(0,a)使得f (p)+1=0.
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.
综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1.
…(7分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值为f (a).
当0<a≤1时,f (a)≥-1,则g(a)是方程f (p)=1满足p>a的实根,
即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,所以
g(a)=3(a-1)+
9a2+30a+94.
又g(a)在(0,1]上单调递增,故
g(a)max=g(1)=3.
当a>1时,f (a)<-1.
由于f (0)=1,f (1)=92(1-a)-1<-1,故
[0,p]⊂[0,1].
此时,g(a)≤1.
综上所述,g(a)的最大值为3.
唔,你可以看一下原网站!
求导数,判断函数单调性