已知fx是奇函数,gx是偶函数且fx-gx=1/(x+1)求fx和gx已知函数fx=x(1/x²-1 +1/2),①求fx的定义域②判断函数fx的奇偶性并证明结论 跪求求求求求求
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 13:33:17
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已知fx是奇函数,gx是偶函数且fx-gx=1/(x+1)求fx和gx已知函数fx=x(1/x²-1 +1/2),①求fx的定义域②判断函数fx的奇偶性并证明结论 跪求求求求求求
已知fx是奇函数,gx是偶函数且fx-gx=1/(x+1)求fx和gx
已知函数fx=x(1/x²-1 +1/2),①求fx的定义域②判断函数fx的奇偶性并证明结论
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(1)∵ f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
∴ f(- x)= - f(x),g(- x)= g(x)
∵ f(x)- g(x)= 1 / (x + 1) ①
∴ f(- x)- g(- x)= 1 /(1 - x)
- f(x)- g(x)= 1 / (1 - x)
f(x)+ g(x)= 1 / (x - 1) ②
① + ② 得:
2 f(x)= 1 / (x + 1) + 1 / (x - 1)
= (x - 1) /(x + 1)(x - 1)+ (x + 1)/(x + 1)(x - 1)
= (x - 1 + x + 1)/ (x + 1)(x - 1)
= 2 x /(x ² - 1)
∴f(x)= x / (x ² - 1)
代入 ② 得:x / (x ² - 1)+ g(x)= 1 / (x - 1)
∴ g(x)= 1 / (x - 1)- x /(x ² - 1)
= (x + 1)/(x + 1)(x - 1)- x /(x + 1)(x - 1)
= (x + 1 - x)/(x + 1)(x - 1)
= 1 / (x ² - 1)
∴ f(x)= x / (x ² - 1) ,g(x)= 1 / (x ² - 1)
(2)① ∵ f(x) = x【 1 / (x ² - 1) + 1 / 2 】
∴ x ² - 1 ≠ 0
x ² ≠ 1
x ≠ ± 1
∴ 定义域为:{x丨x ≠ ± 1}
② f(x)是奇函数
证明:∵ f(- x)= - x 【 1 / ((- x) ² - 1)+ 1 / 2 】
= - x 【 1 / (x ² - 1)+ 1 / 2 】
= - f(x)
又∵ f(0)= 0 (1 / (0 ² - 1)+ 1 / 2 ) = 0
∴ f(x)是奇函数