已知f(x)=((x-1)/(x+1))^2(1)求f(x)的反函数f-1(x)(2)若不等式(1-√x)[f-1(x)]>a(a-√x)对一切x∈[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围真心求指导..
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 23:57:24
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已知f(x)=((x-1)/(x+1))^2(1)求f(x)的反函数f-1(x)(2)若不等式(1-√x)[f-1(x)]>a(a-√x)对一切x∈[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围真心求指导..
已知f(x)=((x-1)/(x+1))^2
(1)求f(x)的反函数f-1(x)
(2)若不等式(1-√x)[f-1(x)]>a(a-√x)对一切x∈[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围
真心求指导..
已知f(x)=((x-1)/(x+1))^2(1)求f(x)的反函数f-1(x)(2)若不等式(1-√x)[f-1(x)]>a(a-√x)对一切x∈[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围真心求指导..
(1)y=((x-1)/(x+1))²
√y=(x-1)/(x+1).逆求法
√y(x+1)=x-1
x(√y-1)=-√y-1
x=(-√y-1)/((√y-1)
故:f-1(x)=-(√x+1)/(√x-1) x≥0且x≠1
(2)把f-1(x)代入得:(1-√x)((-√x-1)/(√x-1))>a(a-√x)
√x+1>a(a-√x)
整理得:(a+1)√x-a²+1>0
(这时把它看成以√x为自变量的一条直线,在1/4和1/2处均大于0)
① 将x=1/4代入,整理得:2a²-a-3≦0 解得:-1<a<3/2
② 将x=1/2代入,整理得:2a²-√2a-(√2+1)≦0 解得:-√2/2<a<1+√2/2
取交集得:-√2/2<a<3/2
看不懂就再追问,
注意:为避免与函数的倒数产生误会,下面用 y 来表示函数f(x)的反函数。
第一个问题:
∵f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2,
∴当(x-1)/(x+1)≧0时,需要x-1≧0、且x+1>0;或x-1≦0、且x+1<0。
由x-1≧0、且x+1>0,得:x≧1。 由x-1≦0、且x+1<0,得:x<-1。
于是:
一、...
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注意:为避免与函数的倒数产生误会,下面用 y 来表示函数f(x)的反函数。
第一个问题:
∵f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2,
∴当(x-1)/(x+1)≧0时,需要x-1≧0、且x+1>0;或x-1≦0、且x+1<0。
由x-1≧0、且x+1>0,得:x≧1。 由x-1≦0、且x+1<0,得:x<-1。
于是:
一、当x∈(-∞,-1)∪[1,+∞)时,有:√[f(x)]=(x-1)/(x+1)。
令上式中的f(x)=x、x=y,得:√x=(y-1)/(y+1),∴-√x=(1-y)/(1+y),
∴-√x/(1-√x)=(1-y)/[(1+y)+(1-y)]=(1-y)/2,
∴1-y=-2√x/(1-√x),∴y=1+2√x/(1-√x)=(1+√x)/(1-√x)。
∴此时函数的反函数是:y=(1+√x)/(1-√x)。
二、当x∈(-1,1)时,有:√[f(x)]=-(x-1)/(x+1)。
令上式中的f(x)=x、x=y,得:√x=-(y-1)/(y+1)=(1-y)/(1+y),
∴√x/(1+√x)=(1-y)/[(1+y)+(1-y)]=(1-y)/2,
∴1-y=2√x/(1+√x),∴y=1-2√x/(1+√x)=(1-√x)/(1+√x)。
∴此时函数的反函数是:y=(1-√x)/(1+√x)。
第二个问题:
∵对于x∈[1/4,1/2],有(1-√x)y>a(a-√x)恒成立,
∴(1-√x)[(1+√x)/(1-√x)]>a(a-√x)恒成立,
∴1+√x>a^2-a√x恒成立,∴(1+a)√x>a^2-1恒成立。
一、当a=-1时,(1+a)√x>a^2-1变成为0>0,这显然是不合理的,应舍去。
二、当a<-1时,(1+a)√x<0,∴需要a^2-1<0,∴需要a^2<1,∴需要-1<a<1。
显然,a<-1与-1<a<1是矛盾的,∴这种情况应舍去。
三、当a>-1时,(1+a)√x>0,∴需要a^2-1≦0,∴需要-1<a≦1。
综上可知,满足条件的a的取值范围是(-1,1]。
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