作业帮已知圆（x—3）的平方+（y—4）的平方=16的圆心为点A,直线L1:kx-y-k=o,且L1与圆交于两个不同的点P.Q .问：当三角形的面积APQ取最大值时,求L1的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 04:45:17
已知圆（x—3）的平方+（y—4）的平方=16的圆心为点A,直线L1:kx-y-k=o,且L1与圆交于两个不同的点P.Q .问：当三角形的面积APQ取最大值时,求L1的方程
已知圆（x—3）的平方+（y—4）的平方=16的圆心为点A,直线L1:kx-y-k=o,且L1与圆交于两个不同的点P.Q .
问：当三角形的面积APQ取最大值时,求L1的方程
已知圆（x—3）的平方+（y—4）的平方=16的圆心为点A,直线L1:kx-y-k=o,且L1与圆交于两个不同的点P.Q .问：当三角形的面积APQ取最大值时,求L1的方程
这道题分两步走
第一步：圆上任意两点PQ与圆心A所组成的三角形的面积最大时PQ是多少?
三角形ABC的面积=1/2*AP*AQ*sin角PAQ
由于AP和AQ都是半径,是确定的值,因此三角形ABC的面积只与角PAQ相关
sin角PAQ在角PAQ=90度时取最大值,此时三角形PAQ是等腰直角三角形,PQ=根号2*半径
本题的半径=4
因此PQ=4*根号2
第二步：找到k,使PQ=4*根号2
由直线L1方程得到：y=k(x-1)
代入圆方程,得到：(x-3)^2+(kx-k-4)^2=16
x^2-6x+9+(kx)^2+(k+4)^2-2kx(k+4)=16
(1+k^2)*x^2-(6+2k^2+8k)*x-7+(k+4)^2=0
由一元二次函数通用求根公式：
x1= [-b+根号(b^2-4ac)]/2a
x2= [-b-根号(b^2-4ac)]/2a
得到|x1-x2|=| 根号(b^2-4ac)/a |=| 根号(48k^2+64k)/(1+k^2) |,这就是P、Q的横坐标之差
P、Q的距离差=P、Q的横坐标之差*根号(k^2+1)=根号(48k^2+64k)/(1+k^2)*根号(k^2+1)
加上第一步的结论,则有：
根号(48k^2+64k)/(1+k^2)*根号(k^2+1)=4*根号2
根号(48k^2+64k)/根号(k^2+1)=4*根号2
(48k^2+64k)/(k^2+1)=32
(3k^2+4k)/(k^2+1)=2
3k^2+4k=2k^2+2
k^2+4k-2=0
k1= -2+根号6
k2= -2 - 根号6
因此有两条直线符合题意
y= (-2+根号6)*(x-1)
y= (-2 - 根号6)*(x-1)