过点P(2,1)的直线L交x轴、y轴的正半轴与A、B连点,求使丨PA丨×丨PB丨最小时L的方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 21:23:34
![过点P(2,1)的直线L交x轴、y轴的正半轴与A、B连点,求使丨PA丨×丨PB丨最小时L的方程.](/uploads/image/z/13904519-23-9.jpg?t=%E8%BF%87%E7%82%B9P%EF%BC%882%2C1%EF%BC%89%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%E4%BA%A4x%E8%BD%B4%E3%80%81y%E8%BD%B4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E4%B8%8EA%E3%80%81B%E8%BF%9E%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E4%BD%BF%E4%B8%A8PA%E4%B8%A8%C3%97%E4%B8%A8PB%E4%B8%A8%E6%9C%80%E5%B0%8F%E6%97%B6L%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B.)
过点P(2,1)的直线L交x轴、y轴的正半轴与A、B连点,求使丨PA丨×丨PB丨最小时L的方程.
过点P(2,1)的直线L交x轴、y轴的正半轴与A、B连点,求使丨PA丨×丨PB丨最小时L的方程.
过点P(2,1)的直线L交x轴、y轴的正半轴与A、B连点,求使丨PA丨×丨PB丨最小时L的方程.
直线方程为y-1=k(x-2) 易知k0 -1/k>0
(-k)+(-1/k)>=1/2 当且仅当-k=-1/k即k=-1时取等号
|PA|*|PB|最小值为1 此时直线方程为y-1=-(x-2)即y=-x+3
此题可以用均值不等式或者单调性解答
其中均值不等式:
a+b>=2根号ab 其中
a>0,b>0
设直线斜率是k,根据点斜式方程表达形式那么
直线方程为y-1=k(x-2) 而且k<0
|PA|×|PB|
=根号{[4+(1+2k-1)^2][(2+1/k-2)^2+1]}
=-2(k^2+1)/k
=2(-k-1/k)<...
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此题可以用均值不等式或者单调性解答
其中均值不等式:
a+b>=2根号ab 其中
a>0,b>0
设直线斜率是k,根据点斜式方程表达形式那么
直线方程为y-1=k(x-2) 而且k<0
|PA|×|PB|
=根号{[4+(1+2k-1)^2][(2+1/k-2)^2+1]}
=-2(k^2+1)/k
=2(-k-1/k)
-k>0 -1/k>0
根据均值不等式有
(-k)+(-1/k)>=2 (注意,这里并不是一搂所述的1/2,因为 a+b>=2根号(ab),而不是1/2根号(ab))
当且仅当-k=-1/k即k=-1时取等号
由此可以得出
|PA|*|PB|最小值为1
此时直线方程为y-1=-(x-2)
也就是y=-x+3
收起