已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)≥25/4

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 19:00:38
已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)≥25/4

已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)≥25/4
已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)≥25/4

已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)≥25/4
证明:(a+1/a)(b+1/b)
=(a²+1)(b²+1)/ab
=[(ab)²+a²+b²+1]/ab
=[(ab)²+(a+b)²-2ab+1]/ab
=[(ab)²+1-2ab+1]/ab
=ab+2/ab-2
a+b=1≥2√ab,ab≤1/4
ab+2/ab-2≥1/4+8-2=25/4,即
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4
证毕;
注:在这里函数x+2/x在[1,√2]为减函数