函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(x)导数的绝对值小于1,又f(0)=f(1),证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f(x1)-f(x2)的绝对值小于1/2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 02:37:27
![函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(x)导数的绝对值小于1,又f(0)=f(1),证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f(x1)-f(x2)的绝对值小于1/2](/uploads/image/z/1488578-50-8.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%5B0%2C1%5D%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2C%E5%9C%A8%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%E5%86%85%E5%8F%AF%E5%BE%AE%2C%E4%B8%94f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%AF%BC%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC%E5%B0%8F%E4%BA%8E1%2C%E5%8F%88f%EF%BC%880%EF%BC%89%3Df%EF%BC%881%EF%BC%89%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%AF%B9%E4%BA%8E%5B0%2C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%A4%E7%82%B9x1%2Cx2%2C%E6%81%92%E6%9C%89f%EF%BC%88x1%EF%BC%89-f%EF%BC%88x2%EF%BC%89%E7%9A%84%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC%E5%B0%8F%E4%BA%8E1%2F2)
函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(x)导数的绝对值小于1,又f(0)=f(1),证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f(x1)-f(x2)的绝对值小于1/2
函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(x)导数的绝对值小于1,又f(0)=f(1),证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f(x1)-f(x2)的绝对值小于1/2
函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(x)导数的绝对值小于1,又f(0)=f(1),证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f(x1)-f(x2)的绝对值小于1/2
反证法,假定在[0,1]有两个点a,b(a0.5
根据拉格朗日中值定理,在(a,b)中存在点c使得f(b)-f(a)=(b-a)*f'(c)
即有:|f(b)-f(a)|=(b-a)*|f'(c)|>0.5
已知|f'(c)|0.5 (后面要用这个结论)
再两次利用拉格朗日中值定理:
在(0,a)中存在d使得:f(a)-f(0)=a*f'(d)
在(b,1)中存在e使得:f(1)-(b)=(1-b)*f'(e)
两式相加并利用f(0)=f(1)得:f(a)-f(b)=a*f'(d) + (1-b)*f'(e)
根据绝对值不等式得:|f(a)-f(b)|≤a*|f'(d)| + (1-b)*|f'(e)|
因为|f'(d)|和|f'(e)|都
不妨设x1<=x2
若|x1-x2|=x2-x1<=1/2
所以|f(x1)-f(x2)|=|f'(c)||x1-x2|<1*1/2=1/2
若x2-x1>1/2,则1-(x2-x1)<1/2
所以|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)|
=|f'(c1)(x1-0)+f'(c2)(1-x2)|
<=|f'(c1)|*x1+|f'(c2)*(1-x2)