若焦点在X轴上的椭圆X^/45+Y^/b^=1上有一点,使他和两个焦点的连线相互垂直,求b的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 09:44:23
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若焦点在X轴上的椭圆X^/45+Y^/b^=1上有一点,使他和两个焦点的连线相互垂直,求b的取值范围
若焦点在X轴上的椭圆X^/45+Y^/b^=1上有一点,使他和两个焦点的连线相互垂直,求b的取值范围
若焦点在X轴上的椭圆X^/45+Y^/b^=1上有一点,使他和两个焦点的连线相互垂直,求b的取值范围
因为焦点在x轴上,所以:b^2<45
即:-3√5设椭圆的交点为F1、F2,则:F1、F2的坐标为:
F1(-√(45-b^2),0)、F2(√(45-b^2),0)
设椭圆上一点A(3√5cosθ,bsinθ),那么:
直线AF1的斜率Kaf1=(bsinθ-0)/[3√5cosθ+√(45-b^2)]
直线AF2的斜率Kaf2=(bsinθ-0)/[3√5cosθ-√(45-b^2)]
已知AF1与AF2互相垂直,所以:Kaf1*Kaf2=-1
则:(b^2sin^2<θ>)/[45cos^2<θ>-(45-b^2)]=-1
===> (b^2sin^2<θ>)/[b^2-45sin^2<θ>]=-1
===> b^2sin^2<θ>=45sin^2<θ>-b^2
===> b^2(1+sin^2<θ>)=45sin^2<θ>
===> b^2=(45sin^2<θ>)/(1+sin^2<θ>)
因为0≤sin^2<θ>≤1,所以:
0≤b^2≤45/2
所以:-3√10/2≤b≤3√10/2(b≠0)……………………(2)
联立(1)(2)得到:
-3√10/2≤b≤3√10/2(b≠0)
不用那么麻烦,只要让它在Y轴的顶点时垂直就行了,离心率更小就行了。在Y轴顶点垂直时b=c然后用b^2+c^2=45解出来就行了。