在区间【0,π/2】上,曲线y=sinx与x=π/2,y=0所围成的图形,分别绕x轴、y轴旋转所围成的立体的面积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 14:09:29
![在区间【0,π/2】上,曲线y=sinx与x=π/2,y=0所围成的图形,分别绕x轴、y轴旋转所围成的立体的面积](/uploads/image/z/299305-1-5.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%E3%80%900%2C%CF%80%2F2%E3%80%91%E4%B8%8A%2C%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%3Dsinx%E4%B8%8Ex%3D%CF%80%2F2%2Cy%3D0%E6%89%80%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%BD%A2%2C%E5%88%86%E5%88%AB%E7%BB%95x%E8%BD%B4%E3%80%81y%E8%BD%B4%E6%97%8B%E8%BD%AC%E6%89%80%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%9A%84%E7%AB%8B%E4%BD%93%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF)
在区间【0,π/2】上,曲线y=sinx与x=π/2,y=0所围成的图形,分别绕x轴、y轴旋转所围成的立体的面积
在区间【0,π/2】上,曲线y=sinx与x=π/2,y=0所围成的图形,分别绕x轴、y轴旋转所围成的立体的面积
在区间【0,π/2】上,曲线y=sinx与x=π/2,y=0所围成的图形,分别绕x轴、y轴旋转所围成的立体的面积
所求旋转体的体积可看成是由直线x=π/2,y=1,x轴与y轴共同围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体体积V1与由直线y=0,曲线y=sinx与y轴所围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体体积V2这两者的差值
V1明显是一个圆柱体的体积,其底面半径为π/2,高为1,所以V1=π*(π/2)^*1=(π^3)/4
V2的体积可以通过列出下列积分求出:
V2=∫π*x^(y)dy,y的积分下限为0,上限为1,其中x(y)为y=sinx的反函数,即x=arcsiny,于是有V2=π*∫(arcsiny)^dy
上式可转化为对x的积分:
V2=π*∫x^d(sinx)(x下限可求出为0,上限为π/2)
对其进行分部积分:(以下凡是关于x的积分都是下限为0,上限为π/2)
V2=π*x^*sinx|(x=π/2)-n*x^*sinx|(x=0)-π*∫sinx d(x^)
=(π^3)/4 + 2π*∫xd(cosx)
=(π^3)/4 + 2π*xcosx|(x=π/2)-2π*xcosx|(x=0)-2π*∫cosxdx
=(π^3)/4 -2π*sinx|(x=π/2)+2π*sinx|(x=0)
=(π^3)/4-2π
于是所求V=V1-V2=2π
很高兴为您解答,【the1900】团队为您答题.
请点击下面的【选为满意回答】按钮,