已知函数f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定义在R上的奇函数,①求实数a的值及函数f(x)的解析式;②当X∈{-1,2}时,求函数f(x)的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 03:03:53
![已知函数f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定义在R上的奇函数,①求实数a的值及函数f(x)的解析式;②当X∈{-1,2}时,求函数f(x)的取值范围](/uploads/image/z/3040408-64-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Da%2B2%E7%9A%84x%E6%AC%A1%E6%96%B9%2F2%E7%9A%84x%E6%AC%A1%E6%96%B9%2B1%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E2%91%A0%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%8F%8A%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F%EF%BC%9B%E2%91%A1%E5%BD%93X%E2%88%88%EF%BD%9B-1%2C2%EF%BD%9D%E6%97%B6%2C%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4)
已知函数f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定义在R上的奇函数,①求实数a的值及函数f(x)的解析式;②当X∈{-1,2}时,求函数f(x)的取值范围
已知函数f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定义在R上的奇函数,①求实数a的值及函数f(x)的解析式;
②当X∈{-1,2}时,求函数f(x)的取值范围
已知函数f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定义在R上的奇函数,①求实数a的值及函数f(x)的解析式;②当X∈{-1,2}时,求函数f(x)的取值范围
1
f(x)=2^x/(2^x+1)+a,是定义域为R的奇函数,故f(-x)=-f(x)
f(-x)=1/(2^x+1)+a,-f(x)=-2^x/(2^x+1)-a
即:1/(2^x+1)+a=-2^x/(2^x+1)-a
即:2a=-(2^x+1)/(2^x+1)=-1,故a=-1/2
所以:f(x)=2^x/(2^x+1)-1/2
2
f(x)=2^x/(2^x+1)-1/2=1/2-1/(2^x+1)
-1/(2^x+1)是形如y=-1/u的反比例函数与u=2^x+1的复合函数
y=-1/u是增函数,u=2^x+1也是增函数,故f(x)是R上的增函数
只不过,当x趋于+inf时,f(x)趋于1/2,当x趋于-inf时,f(x)趋于-1/2
所以,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值:fmin=f(-1)=-1/6
f(x)的最大值:fmax=f(2)=3/10
所以:f(x)∈[-1/6,3/10]
①f(x)=(a+2^x)/(2^x+1)是定义在R上的奇函数,
<==>f(x)+f(-x)=(a+2^x)/(2^x+1)+[a+2^(-x)]/[2^(-x)+1]
=(a+2^x)/(2^x+1)+[a*2^x+1]/(1+2^x)
=a+1=0,
∴a=-1.
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1).
②x∈[-1,2]时f(x)=1-2/(2^x+1),↑,
f(-1)=-1/3,f(2)=3/5,
∴f(x)的取值范围是[-1/3,3/5].