设三个正数a、b、c满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4),求证:a b c一定是某三角形三边
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 03:08:12
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设三个正数a、b、c满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4),求证:a b c一定是某三角形三边
设三个正数a、b、c满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4),求证:a b c一定是某三角形三边
设三个正数a、b、c满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4),求证:a b c一定是某三角形三边
∵(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)
∴a^4+b^4+c^4-2(ab)^2-2(bc)^2-2(ca)^2<0
∴a^4+b^4+c^4-2(ab)^2+2(bc)^2-2(ca)^2<4(bc)^2
∴(a^2-b^2-c^2)^2<4(bc)^2
∴|a^2-b^2-c^2|<2bc即-2bc<a^2-b^2-c^2<2bc
∴b^2-2bc+c^2<a^2<b^2+2bc+c^2即(b-c)^2<a^2<(b+c)^2
∴|b-c|<a<b+c
同理|a-c|<b<a+c
|a-b|<c<a+b
两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边
所以a b c一定是某三角形三边
证明:(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)可化为a2(b2+c2)+b2(a2+c2)+c2(a2+b2)>a4+b4+c4,
显然,a2(b2+c2)< a4、b2(a2+c2)< b4、c2(a2+b2)< c4不可能同时成立。
设a2(b2+c2)> a4,则b2+c2> a2。又a2+b2< c2 a2+c2< b2不能同时成立,所以至少...
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证明:(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)可化为a2(b2+c2)+b2(a2+c2)+c2(a2+b2)>a4+b4+c4,
显然,a2(b2+c2)< a4、b2(a2+c2)< b4、c2(a2+b2)< c4不可能同时成立。
设a2(b2+c2)> a4,则b2+c2> a2。又a2+b2< c2 a2+c2< b2不能同时成立,所以至少有一个不成立。不妨设a2+b2> c2,则(a2)2>(c2-b2)2 (a2+c2-b2)(a2-c2+b2)>0
所以a2+b2> c2 a2+c2>b2
因为(b+c)2=b2+c2+2bc>a2,所以b+c>a
同理,a+c>b,a+b>c.
我想,写在后面的是次方把
我N想加好友,QQ:493379937
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