如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证:PD是⊙I的切线
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 20:49:09
![如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证:PD是⊙I的切线](/uploads/image/z/3718662-6-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2CAB%3DAC%2C%E2%88%A0ACB%E7%9A%84%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E4%B8%8EAB%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9P%2CM%E4%B8%BA%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E5%86%85%E5%88%87%E5%9C%86%E2%8A%99I%E4%B8%8EBC%E8%BE%B9%E7%9A%84%E5%88%87%E7%82%B9%2C%E4%BD%9CMD%2F%2FAC%2C%E4%BA%A4%E2%8A%99I%E4%BA%8E%E7%82%B9D%2C%E8%BF%9E%E7%BB%93PD%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APD%E6%98%AF%E2%8A%99I%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF)
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证:PD是⊙I的切线
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证:PD是⊙I的切线
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证:PD是⊙I的切线
设Z、N为△ABC的内切圆⊙I与AB、AC边的切点,连接MN、ZN、ID、DM、DN
因为AB=AC所以∠B=∠ACB, 因为⊙I是△ABC的内切圆所以∠NMC=∠MNC
MD//AC所以∠MNC=∠DMN,PC垂直于MN.又∠DMB=∠DNM=∠ACB所以∠DMN=∠MDN=
(180°-∠ACB)/2=90°-∠ACB/2,∠ZNM=180°-(180°-∠A)/2-(180°-∠ACB)/2=∠A/2+∠ACB/2
=90°-∠B/2所以∠DMN=∠ZNM所以弧DZ=弧ZM ,弧ZN=弧DM.又PC垂直平分于MN,所以PC垂直平分弧MDN ,PC垂直平分弧DZ,所以PD=PZ,△IDP≌△IZP所以∠PDI=∠PZI=90°,故PD是⊙I的切线.
(先假设一条切线,证明它和PD重合即可)
证明过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.
根据题目,CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.
加上CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.
根据BN、QN均为⊙I的切线,所以NM=QN,
根据题目BA=AC...
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(先假设一条切线,证明它和PD重合即可)
证明过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.
根据题目,CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.
加上CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.
根据BN、QN均为⊙I的切线,所以NM=QN,
根据题目BA=AC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.
又根据题目MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
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