作业帮如何从数论的角度证明n∧3+5n能被6整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/23 14:18:12
如何从数论的角度证明n∧3+5n能被6整除
如何从数论的角度证明n∧3+5n能被6整除
如何从数论的角度证明n∧3+5n能被6整除
方法1：
n³+5n=n³-n+6n=(n-1)n(n+1)+6n
(n-1)n(n+1)为三个连续自然数,其中必有一个能被3整除,也必有一个是偶数,故(n-1)n(n+1)能被6整除,因而n³+5n能被6整除.
方法2：采用数学归纳法：
n=1时,n³+5n=6,结论成立
假设n=k时结论成立,k³+5k能被6整除
n=k+1时,(k+1)³+5(k+1)=k³+3k²+3k+1+5k+5=k³+5k+3k²+3k+6
=(k³+5k)+3k(k+1)+6
已知(k³+5k)能被6整除,k和(k+1)中必有一个偶数,故3k(k+1)也能被6整除,于是(k³+5k)+3k(k+1)+6能被6整除,结论也成立.
n=1时,可以实现,n=2时也正确,n=3也对,所以假设n^3+5n成立,然后求证A=(n+1)^3+5(n+1)也能成立即可.把多项式解开A=n^3+3n^2+8n+6=(n^3+5n)+(3n^2+3n)+6
这样第一部分就是假设的内容,所以可以被6整除,最后一个是6,也可以被整除,中间部分=3n(n+1)也能被6整除即可,n(n+1)相邻的两个数相乘必定是偶数,能被2整除,因此既能被...
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n=1时,可以实现,n=2时也正确,n=3也对,所以假设n^3+5n成立,然后求证A=(n+1)^3+5(n+1)也能成立即可.把多项式解开A=n^3+3n^2+8n+6=(n^3+5n)+(3n^2+3n)+6
这样第一部分就是假设的内容,所以可以被6整除,最后一个是6,也可以被整除,中间部分=3n(n+1)也能被6整除即可,n(n+1)相邻的两个数相乘必定是偶数,能被2整除,因此既能被3整除,又能被2整除,所以能被6整除,因此整个都可以被6整除.不明白再问
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当 n=1 时 1+5=6 能被6整除
假设n=k时能被6整除，k^3+5k=6q (q为整数,k>=2)
当n=k+1时
[(k+1)^3+5(k+1)]/6
=[(k²+2k+1)*(k+1)+5k+5]/6
=[k³+2k²+k+k²+2k+1+5k+5]/6
=[k³+3k²+5k...
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当 n=1 时 1+5=6 能被6整除
假设n=k时能被6整除，k^3+5k=6q (q为整数,k>=2)
当n=k+1时
[(k+1)^3+5(k+1)]/6
=[(k²+2k+1)*(k+1)+5k+5]/6
=[k³+2k²+k+k²+2k+1+5k+5]/6
=[k³+3k²+5k+3k+6]/6
=[6q+3k²+3k+6]/6
=q+1+k(k+1)/2
=q+1+p (p为整数）
综合上述
n^3+5n 能被6整除
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