高二有难度的不等式证明(提示用分析法)这是我的作业中一道思考题. 已知a>b>0 求证: (a-b)^2/8a

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 23:04:55
高二有难度的不等式证明(提示用分析法)这是我的作业中一道思考题. 已知a>b>0  求证: (a-b)^2/8a

高二有难度的不等式证明(提示用分析法)这是我的作业中一道思考题. 已知a>b>0 求证: (a-b)^2/8a
高二有难度的不等式证明(提示用分析法)
这是我的作业中一道思考题.
已知a>b>0 求证:
(a-b)^2/8a

高二有难度的不等式证明(提示用分析法)这是我的作业中一道思考题. 已知a>b>0 求证: (a-b)^2/8a
有难度……
这道题的右面应该还有一组不等式
可以作为结论记住以后不一定会用到
原式可转为
(a-b)²/8a0,设y=√b,x=√a(x>y)
(y²-x²)/2x

用完全平方公式倒
一下就出来

证明:
要证明:
(a-b)的平方/8a<(a+b)/2-根号下ab
两边都乘2得a-b)的平方/4a<(a+b)-2*根号下ab
等价于(根号a-根号b)^2*(根号a+根号b)^2/4a<(根号a-根号b)^2
消去(根号a-根号b)^2且两边乘4a得
(根号a+根号b)^2<4a………………(**)
因为a>b>0
...

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证明:
要证明:
(a-b)的平方/8a<(a+b)/2-根号下ab
两边都乘2得a-b)的平方/4a<(a+b)-2*根号下ab
等价于(根号a-根号b)^2*(根号a+根号b)^2/4a<(根号a-根号b)^2
消去(根号a-根号b)^2且两边乘4a得
(根号a+根号b)^2<4a………………(**)
因为a>b>0
根号a+根号b<2*根号a,则(**)式显然成立
证毕

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直接设f(x)是关于b的函数关系式
设f(x)=(x+a)/2-√ax-(a-x)^2/8a
f'(x)=3/4-〔1/2√(a/x)+x/4a〕
=3/4-〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕
≤3/4-3*〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕^(1/3)
=0
当...

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直接设f(x)是关于b的函数关系式
设f(x)=(x+a)/2-√ax-(a-x)^2/8a
f'(x)=3/4-〔1/2√(a/x)+x/4a〕
=3/4-〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕
≤3/4-3*〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕^(1/3)
=0
当且仅当1/4√(a/x)=x/4a时取等号,此时x=a,此时f(x)=0
根据题干,当x=b<a时,f'(x)<0,此时f(x)>0
故a>b>0时,(x+a)/2-√ax>(a-x)^2/8a

得证

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