sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β这个公式怎么证明 注:不要用积化和差或欧拉公式 最好用图形说明好的给30分
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 15:53:27
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sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β这个公式怎么证明 注:不要用积化和差或欧拉公式 最好用图形说明
好的给30分
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角就用a、b表示了哈.
在平面直角坐标系里画一个单位圆,交x轴正半轴于A,从x轴正半轴开始,逆时针画一个a角,它的另一条边为OB,接着从OB开始逆时针画一个b角,它的另一条边为OC;再从x轴正半轴开始顺时针画一个b角,它的另一条边为OD,那么A(1,0),B(cosa,sinb),C(cos(a+b),sin(a+b)),D(cosb,-sinb),而且|AC|=|BD|,由此可以推出cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,所以sin(a+b)=cos(π/2-a-b)=cos((π/2-a)+(-b))=cos(π/2-a)cos(-b)-sin(π/2-a)sin(-b)=sinacosb+cosasinb
这是我高中数学课本上的证明方法.
用欧拉公式证。e^(jα)=cosα jsinα, e^(jβ)=cosβ jsinβ,所以e^(jα)×e^(jβ)=(cosα jsinα)(cosβ jsinβ),即e^[j(α β)]=cos(α β) jsin(α β)=(cosαcosβ-sinαsinβ) j(sinαcosβ cosαsinβ),所以cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ;sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ(毕)。