已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对一切实数想,f(x)>=f'(x)恒成立,其中f'(x)是f(x)的导数 1.求证f(x)的图像与x轴无交点2.若方程f(x)-2f‘(x)=0有两个不同的实数根x1,x2,求证“|x1-x2|≤2根号3
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 18:49:14
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已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对一切实数想,f(x)>=f'(x)恒成立,其中f'(x)是f(x)的导数 1.求证f(x)的图像与x轴无交点2.若方程f(x)-2f‘(x)=0有两个不同的实数根x1,x2,求证“|x1-x2|≤2根号3
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对一切实数想,f(x)>=f'(x)恒成立,其中f'(x)是f(x)的导数 1.求证f(x)的图像与x轴无交点
2.若方程f(x)-2f‘(x)=0有两个不同的实数根x1,x2,求证“|x1-x2|≤2根号3
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对一切实数想,f(x)>=f'(x)恒成立,其中f'(x)是f(x)的导数 1.求证f(x)的图像与x轴无交点2.若方程f(x)-2f‘(x)=0有两个不同的实数根x1,x2,求证“|x1-x2|≤2根号3
f'(x)=2ax+b
f(x)-f'(x)=ax²+(b-2a)x+c-b≥0恒成立
于是△=(b-2a)²-4a(c-b)≤0恒成立,且a>0
整理得-4ac≤-b²-4a²,即4ac≥b²+4a²
1.
f(x)=ax²+bx+c=0,
△=b²-4ac
≤b²-b²-4a²=-4a²<0
于是f(x)=0无解,即f(x)图像与x轴无交点
2.
f(x)-2f'(x)=ax²+(b-4a)x+c-2b=0
△=(b-4a)²-4a(c-2b)=-4ac+b²+16a²>0,即4ac<b²+16a²
|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2
=[-(b-4a)/a]²-4[(c-2b)/a]
=(16a²+b²-4ac)/a²
0<16a²+b²-4ac≤12a²
于是0<(16a²+b²-4ac)/a²≤12
于是|x1-x2|²≤12
得|x1-x2|≤2√3