如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E(1)在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG(2)在图②中,仍有(1)中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 21:08:21
![如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E(1)在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG(2)在图②中,仍有(1)中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长](/uploads/image/z/3975949-37-9.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2C%E8%A7%92BAD%2C%E8%A7%92ABC%E7%9A%84%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BFAF%2CBG%E4%B8%8ECD%E4%B8%A4%E4%BE%A7%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E5%88%86%E5%88%AB%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%B8%8EF%2CG%2CAF%E4%B8%8EBG%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%B8%8EE%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%9C%A8%E5%9B%BE%E2%91%A0%E4%B8%AD%2C%E6%B1%82%E8%AF%81AF%E2%8A%A5BG%2CDF%3DCG%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%9C%A8%E5%9B%BE%E2%91%A1%E4%B8%AD%2C%E4%BB%8D%E6%9C%89%EF%BC%881%EF%BC%89%E4%B8%AD%E7%9A%84%E7%BB%93%E8%AE%BA%2C%E8%8B%A5AB%3D10%2CAD%3D6%2CBG%3D4%2C%E6%B1%82FG%E5%92%8CAF%E7%9A%84%E9%95%BF)
如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E(1)在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG(2)在图②中,仍有(1)中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长
如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E
(1)在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG
(2)在图②中,仍有(1)中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长
如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E(1)在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG(2)在图②中,仍有(1)中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长
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(1)证明:如图:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴AF⊥BG.
∵AD∥BC,∴∠AMB=∠CBG,
又BG是∠ABC的角平分线,
∴∠ABG=∠CBG,
∴AB=AM,
又AB∥DC,
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(1)证明:如图:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴AF⊥BG.
∵AD∥BC,∴∠AMB=∠CBG,
又BG是∠ABC的角平分线,
∴∠ABG=∠CBG,
∴AB=AM,
又AB∥DC,
∴∠ABM=∠G,又∠AMB=∠GMD,
∴∠G=∠GMD,
∴DM=DG,即△GDM为等腰三角形,
同理可得△NCF为等腰三角形;
∵DF-CD=CG-CD,即DF=CG
(2)①由已知可得,AF、BG仍是∠BAD与∠ABC的角平分线,且CF=GD,
∴FD=AD=6,
∴CF=10-6=4=GD,
∴FG=FD-GD=6-4=2.
可得,Rt△EFG∽Rt△EAB,
∴
EG
BE
=
FG
AB
=
2
10
,
∵BG=4,
∴GE=2/3
,BE=10/3
,
则在直角三角形EFG中,根据勾股定理得:EF=根号里 FG2-EG2 =4根号2 /3
,
在直角三角形ABE中,根据勾股定理得:AE=根号里AB2-BE2 =20根号2 / 3
,
勾股定理可得AF=EF+AE=8根号2
②AB=2AD,∠A=90°.
若使点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形,
∵AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线,
∴只能使其角为直角,即∠A=90°,
而由(1)、(2)可得,边长则需满足1:2的关系,即AB=2AD.
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