在△ABC中,a=1,b=2,cosC=1/4,(1)求△ABC的周长(2)求cos(A-C)的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 00:35:26
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在△ABC中,a=1,b=2,cosC=1/4,(1)求△ABC的周长(2)求cos(A-C)的值
在△ABC中,a=1,b=2,cosC=1/4,(1)求△ABC的周长(2)求cos(A-C)的值
在△ABC中,a=1,b=2,cosC=1/4,(1)求△ABC的周长(2)求cos(A-C)的值
分析:(I)利用余弦定理表示出c的平方,把a,b及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长;
(II)根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由a,c及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C,即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值.
(I)∵c^2=a^2+b^2-2abcosC=1+4-4×1/4=4,
∴c=2,
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
(II)∵cosC= 1/4,∴sinC=√(1-cos^2C=) =√(1-(1/4)^2)= (√15)/4.
∴sinA= asinC/c= √15/4/2= (√15)/8.
∵a<c,∴A<C,故A为锐角.则cosA=√(1-(15/8)^2)= 7/8,
∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= 7/8× 1/4+ √15/8× √15/4= 11/16.
根据余弦定理c^2=1^2+2^2-2*1*2*(1/4)=2周长为5,因为B=C,所以A=180度-2C
cos(A-C)=cos(180度-3C)=-cos3C=-cos(2c+c)=-(cos2c*cosc-sin2c*sinc)
=-(4(cosC)^3-3cosC)=-(4*(1/4)^3-3*(1/4))=11/16