作业帮f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 17:21:55
![f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.](/uploads/image/z/4110628-4-8.jpg?t=f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dlg%5B1%2B2%5Ex%2B3%5Ex%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%28n-1%29%5Ex%2Bn%5Exa%5D%2Fn%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADa%E6%98%AF%E5%AE%9E%E6%95%B0%2Cn%E6%98%AF%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%BB%99%E5%AE%9A%E7%9A%84%E6%AD%A3%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E4%B8%94n%E2%89%A52%2C%E5%A6%82%E6%9E%9Cf%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%BD%93x%E2%88%88%EF%BC%88-%E2%88%9E%2C1%5D%E6%97%B6%E6%9C%89%E6%84%8F%E4%B9%89%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
若f（x）有意义,1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa>0
等价于-a（1+2+3+……（n-1)/n=(n-1)/2
所以a∈（-(n-1)/2,∞)
证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an-1an）≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）+…+（a22+an2）]+…+[（an-22+...
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证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an-1an）≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）+…+（a22+an2）]+…+[（an-22+an-12）+（an-22+an2）]+（an-12+an2）
=n（a12+a22+…+an2）．
于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立．
利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，所以有[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，
当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，所以有
[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．
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