设二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点(-1,0),且对一切实数x,不等式x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立.求证:1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>2n/(n+2)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 07:56:45
![设二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点(-1,0),且对一切实数x,不等式x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立.求证:1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>2n/(n+2)](/uploads/image/z/4503066-42-6.jpg?t=%E8%AE%BE%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax%26%23178%3B%2Bbx%2Bc%E7%9A%84%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E8%BF%87%E7%82%B9%EF%BC%88-1%2C0%EF%BC%89%2C%E4%B8%94%E5%AF%B9%E4%B8%80%E5%88%87%E5%AE%9E%E6%95%B0x%2C%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Fx%E2%89%A4f%28x%29%E2%89%A4%EF%BC%881%2Bx%26%23178%3B%29%2F2%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A1%2Ff%281%29%2B1%2Ff%282%29%2B...%2B1%2Ff%28n%29%3E2n%2F%28n%2B2%29)
设二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点(-1,0),且对一切实数x,不等式x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立.求证:1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>2n/(n+2)
设二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点(-1,0),且对一切实数x,不等式x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立.
求证:1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>2n/(n+2)
设二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点(-1,0),且对一切实数x,不等式x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立.求证:1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>2n/(n+2)
由题意f(-1)=a-b+c=0①
对于x≤f(x)≤(1+x²)/2
令x=1得到1≤f(1)≤1
所以f(1)=1
所以a+b+c=1②
①②相减得到
b=1/2
a+c=1/2⇒ac≤(a+c)²/4=1/16
f(X)=ax²+1/2x+c
f(X)-X=ax²-1/2x+c≥0恒成立
那么a>0 且Δ =1/4-4ac≤0 ⇒ ac≥1/16
上面已经说明了ac≤1/16
所以ac=1/16
a=c=1/4
f(X)=1/4x²+1/2x+1/4=(x+1)²/4
1/f(n)=4/(n+1)²>4/(n+1)(n+2)=4[1/(n+1)-1/(n+2)]
写出来就是
1/f(1)>4(1/2-1/3)
1/f(2)>4(1/3-1/4)
...
1/f(n)=4[1/(n+1)-1/(n+2)]
全部相加得到
1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>4[1/2-1/(n+2)]=2n/(n+2)
命题得证
上楼牛X!!!
一楼的回答很详细了,不要再求助啊
?