已知a、b、c成等差数列,求证:a平方-bc、b平方-ac、c平方-ab也成等差数列

已知a、b、c成等差数列,求证:a平方-bc、b平方-ac、c平方-ab也成等差数列
已知a、b、c成等差数列,求证:a平方-bc、b平方-ac、c平方-ab也成等差数列

已知a、b、c成等差数列,求证:a平方-bc、b平方-ac、c平方-ab也成等差数列
已知a、b、c成等差数列
则a+c=2b (1)
因(a²-bc)+(c²-ab)-2(b²-ac)
=a²+2ac+c²-bc-ab-2b²
=(a+c)²-b(a+c+2b)
=(2b)²-b(2b+2b) ((1)代入)
=4b²-4b²
=0
所以(a²-bc)+(c²-ab)=2(b²-ac)
故a平方-bc、b平方-ac、c平方-ab也成等差数列

∵a、b、c成等差数列
∴a+c=2b
a²-bc+c²-ab
=a²+2ac+c²-bc-ab-2ac
=(a+c)²-b(a+c)-2ac
=4b²-2b²-2ac
=2(b²-ac)
∴a²-bc、b²-ac、c²-ab成等差数列

由题意可得：2b=a+c
假设 成立 2（b^2-ac)=(a^2-bc)(c^2-ab)
2b^2-2ac=a^2c^2-a^b+ab^2c-bc^3
....

因为a、b、c成等差数列，所以a=b-x c=b+x
a²-bc=（b-x）²-b(b+x)=x²-3bx
b²-ac=b²-（b-x）(b+x)=x²
c²-ab=（b+x）²-（b-x）b=x²+3bx
所以：a平方-bc、b平方-ac、c平方-ab成等差数列