已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若向量AF2*向量F1F2等于0,椭圆的离心率等于√2/2,△AOF2的面积为2√2(O点为坐标原点),求椭圆方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 17:13:10
![已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若向量AF2*向量F1F2等于0,椭圆的离心率等于√2/2,△AOF2的面积为2√2(O点为坐标原点),求椭圆方程.](/uploads/image/z/5189836-4-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5F1%E3%80%81F2%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%2CA%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%B8%8A%E4%BD%8D%E4%BA%8E%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%B1%A1%E9%99%90%E5%86%85%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5%E5%90%91%E9%87%8FAF2%2A%E5%90%91%E9%87%8FF1F2%E7%AD%89%E4%BA%8E0%2C%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E7%AD%89%E4%BA%8E%E2%88%9A2%2F2%2C%E2%96%B3AOF2%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BA2%E2%88%9A2%28O%E7%82%B9%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%29%2C%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86%E6%96%B9%E7%A8%8B.)
已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若向量AF2*向量F1F2等于0,椭圆的离心率等于√2/2,△AOF2的面积为2√2(O点为坐标原点),求椭圆方程.
已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若向量AF2*向量F1F2等于0,椭圆的离心率等于√2/2,△AOF2的面积为2√2(O点为坐标原点),求椭圆方程.
已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若向量AF2*向量F1F2等于0,椭圆的离心率等于√2/2,△AOF2的面积为2√2(O点为坐标原点),求椭圆方程.
S△AOF2=2√2,得:ya*c=4√2,ya=4√2/c.(1)
向量AF2=(c-xa,-ya),向量F1F2=(2c,0),
向量AF2*向量F1F2等于0,所以:(c-xa)*2c+0=0,解得:xa=c.(2)
因e=c/a=√2/2,所以:c=√2a/2.(3)
将(1)(2)(3)式带入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得:
1/2+32/c^2/c^2=1,得:c^4=64,c=±2√2,
因xa=c,且A是椭圆上位于第一象限内的一点,所以c=2√2,a=4,b=2√2.
于是椭圆方程为:x^2/16+y^2/8=1
因为AF2*F1F2=0所以AF2⊥F1F2
AF1+AF2=2a
AF1²=AF2²+F1F2²
(AF1+AF2)(AF1-AF2)=4c²
AF1-AF2=2c²/a
AF1+AF2=2a
2AF2=2a-2c²/a
AF2=a-c²/a
AO是F1F2边上中...
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因为AF2*F1F2=0所以AF2⊥F1F2
AF1+AF2=2a
AF1²=AF2²+F1F2²
(AF1+AF2)(AF1-AF2)=4c²
AF1-AF2=2c²/a
AF1+AF2=2a
2AF2=2a-2c²/a
AF2=a-c²/a
AO是F1F2边上中线
所以S△AOF2=1/2S△AF1F2
S△AF1F2=4√2
1/2F1F2×AF2=4√2
AF2=4√2/c
所以
a-c²/a=4√2/c
a²-c²=4√2a/c
a²-c²=b²
c/a=√2/2代入上式
b²=8
a=√2c
a²=2c²
a²=b²+c²
所以b²=c²=8
a²=16
所以方程:x²/16+y²/8=1
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