已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点且1是其中一个零点.设g(x)=x-1,且f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),求实数a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 04:27:41
![已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点且1是其中一个零点.设g(x)=x-1,且f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),求实数a的取值范围.](/uploads/image/z/5279116-4-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3D-x%5E3%2Bax%5E2%2Bbx%2Bc%E5%9C%A8%EF%BC%88-%E2%88%9E%2C0%EF%BC%89%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%9C%A8%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E6%9C%89%E4%B8%89%E4%B8%AA%E9%9B%B6%E7%82%B9%E4%B8%941%E6%98%AF%E5%85%B6%E4%B8%AD%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%9B%B6%E7%82%B9.%E8%AE%BEg%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dx-1%2C%E4%B8%94f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Eg%EF%BC%88x%EF%BC%89%E7%9A%84%E8%A7%A3%E9%9B%86%E4%B8%BA%EF%BC%88-%E2%88%9E%2C1%EF%BC%89%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点且1是其中一个零点.设g(x)=x-1,且f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点且1是其中一个零点.设g(x)=x-1,且f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点且1是其中一个零点.设g(x)=x-1,且f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),求实数a的取值范围.
f(x)=-x^3+ax^2+bx+c
∴f'(x)=-3x^2+2ax+b
∵函数在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数
∴x=0是f'(x)的零点
∴b=0
∴f'(x)=-x(3x-2a)>0的区间要包括(0,1)
∴2a/3≥1 解得a≥3/2
又x=1是f(x)的一个零点
∴-1+a+c=0 解得c=1-a
∴f(x)=-x^3+ax^2+1-a=(x-1)(-x^2-x-1+ax+a)=-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)
∵f(x)有三个零点
∴x^2+(1-a)x+1-a=0有两个根
即 △≥0 (1-a)^2-4(1-a)≥0 解得a≥1或a≤-3
又∵f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),
∴-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)>x-1
→-(x-1)(x^2+(1-a)x+2-a)>0
∴x^2+(1-a)x+2-a>0
∴△<0 (1-a)^2-4(2-a)<0
解得-1-2√2<a<-1+2√2
综上可得 3/2≤a<-1+2√2