数学求证问题 ：求证1²+2²+3²+4²+.+n²的通项公式

数学求证问题 ：求证1²+2²+3²+4²+.+n²的通项公式
数学求证问题 ：求证1²+2²+3²+4²+.+n²的通项公式

数学求证问题 ：求证1²+2²+3²+4²+.+n²的通项公式
答：
平方和公式,请参考：

(m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，
可以得到下列等式:
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1<...

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(m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，
可以得到下列等式:
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到:
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6

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(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1
...........
2³-1³=3×1²+3×1+1
将以上各式全部相加，左边只剩...

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(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1
...........
2³-1³=3×1²+3×1+1
将以上各式全部相加，左边只剩两项，其余全消，得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+n
即：(n+1)³-1=3(1²+2²+...+n²)+3n(n+1)/2+n
从中解出 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

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和的公式 = N*(N+1)*(2n+1)/6，用数学归纳法即可。

1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

n（n+1）（2n+1）/6

利用立方差公式
n³-(n-1)³=1*[n²+(n-1)²+n(n-1)]
=n²+(n-1)²+n²-n
=2*n²+(n-1)²-n
2³-1³=2*2²+1²-2
3³-2³=2*3²...

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利用立方差公式
n³-(n-1)³=1*[n²+(n-1)²+n(n-1)]
=n²+(n-1)²+n²-n
=2*n²+(n-1)²-n
2³-1³=2*2²+1²-2
3³-2³=2*3²+2²-3
4³-3³=2*4²+3²-4
......
n³-(n-1)³=2*n²+(n-1)²-n
等式左右两边相加得
n³-1³=2*(2²+3²+...+n²)+[1²+2²+...+(n-1)²]-(2+3+4+...+n)
n³-1=2*(1²+2²+3²+...+n²)-2+[1²+2²+...+(n-1)²+n²]-n²-(2+3+4+...+n)
n³1=3*(1²+2²+3²+...+n²)-2-n²-(1+2+3+...+n)+1
n³-1=3(1²+2²+...+n²)-1-n²-n(n+1)/2
因此
3(1²+2²+...+n²)=n³+n²+n(n+1)/2=(n/2)(2n²+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

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已知 a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
那么有：
n^3 - (n-1)^3 = [n - (n-1)] [n^2 + n(n-1) + (n-1)^2]
= 3n^2 - 3n + 1
(n-1)^3 - (n-2)^3 = 3(n-1)^2 - 3(n-1)...

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已知 a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
那么有：
n^3 - (n-1)^3 = [n - (n-1)] [n^2 + n(n-1) + (n-1)^2]
= 3n^2 - 3n + 1
(n-1)^3 - (n-2)^3 = 3(n-1)^2 - 3(n-1) + 1
……
1^3 - 0^3 = 3*1^2 - 3*1 + 1
公式两边分别相加，可以得到：
n^3 - 0^3 = 3*[n^2 + (n-1)^2 + …… + 1^2] - 3[n + (n-1) + ……+ 1] + n
= 3Sn - 3n(n+1)/2 + n
所以，
Sn = [n^3 + 3n(n+1)/2 - n]/3
= [2n^3 + 3n^2 + 3n - 2n]/6
= [2n^3 + 3n^2 + n]/6
= n * [2n^2 + 3n + 1]/6
= n(n+1)(2n+1)/6

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求证1²+2²+3²+4²+....+n²的通项公式
因为(n+1)³-n³=3n²+3n+1，将n=1，2，3，.....，n；依次代入得：
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-...

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求证1²+2²+3²+4²+....+n²的通项公式
因为(n+1)³-n³=3n²+3n+1，将n=1，2，3，.....，n；依次代入得：
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
5³+4³=3×4²+3×4+1
.........................
(n+1)³-n³=3×n²+3n+1
___________________+
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+.....+n²)+3(1+2+3+4+......+n)+n
=3(∑n²)+[3(n+1)n/2]+n
故∑n²=(1/3)[(n+1)³-1-3(n+1)n/2-n]
=(1/3)[n³+3n²+3n-(3n²+5n)/2]
=(1/6)(2n³+3n²+n)
=(1/6)[n(2n²+3n+1)]
=(1/6)[n(n+1)(2n+1)]

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