“倍角公式”中“cos2A=cos²A-sin²A”证明,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 11:27:01
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“倍角公式”中“cos2A=cos²A-sin²A”证明,
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“倍角公式”中“cos2A=cos²A-sin²A”证明,
证明:如图,在单位圆内作——向量OA=(cosα,sinα),向量OB=(cosβ,sinβ).
利用【向量OA·向量OB】的【几何定义】和【坐标表示】即可.
①【几何定义】向量OA·向量OB=|向量OA|*|向量OB|*cos∠AOB=cos(α-β).
②【坐标表示】向量OA·向量OB=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)
=cosαcosβ+sinαsinβ.
由①②得到cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
③令β=-α则 cos(α-β)=cos2α,又因为cosβ=cos(-α)=cosα sinβ=sin(-α )=-sinα 代入②得cos(α-β)=cos2α=cos²α -sin²α 所以cos2A=cos²A-sin²A