设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 13:12:24
![设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系](/uploads/image/z/5512310-62-0.jpg?t=%E8%AE%BEV1%2CV2%2CV3%2CV4%E6%98%AF%E9%BD%90%E6%AC%A1%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84AX%3D0%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB%2C%E8%AF%81%E6%98%8E+%CE%B21%3DV2%2BV3%2BV4%2C%CE%B22%3DV1%2BV3%2BV4%2C%CE%B23%3DV1%2BV2%2BV4%2C%CE%B24%3DV1%E8%AF%81%E6%98%8E+%CE%B21%3DV2%2BV3%2BV4%2C%CE%B22%3DV1%2BV3%2BV4%2C%CE%B23%3DV1%2BV2%2BV4%2C%CE%B24%3DV1%2BV2%2BV3%E4%B9%9F%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84AX%3D0%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB)
设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系
设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1
证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系
设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系
由题意,首先,β1,β2,β3,β4也是方程AX=0的解,所以只需证明它们不线性相关即可,
设k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0
--->V1(k2+k3+k4)+V2(k1+k3+k4)+V3(k1+k2+k4)+V4(k1+k2+k3)=0
因为V1,V2,V3,V4是AX=0的基础解系,所以它们相互独立,所以
---->k1+k2+k3=0
k1+k2+k4=0
k1+k3+k4=0
k2+k3+k4=0
它即为方程组(1 1 1 0)(k1 k2 k3 k4)T(表示转置)=0
1 1 0 1
1 0 1 1
0 0 1 1
的解,因为上面的矩阵的行列式≠0,所以它只有零解,
所以k1=k2=k3=k4=0---->β1,β2,β3,β4相互独立,所以它们也是方程组AX=0的一个基础解系.
证明β1,β2,β3,β4与V1,V2,V3,V4等价即可。
注意到行列式
0 1 1 1
1 0 1 1 不等于零,所以两个向量组等价
1 1 0 1
1 1 1 0