作业帮△ABC的三个内角值分别为A、B、C,当∠A=α时,2sin(A/2)-cos(B+C)取得最大值⑴求α 的值⑵如果∠A的对边等于2,求△ABC的面积的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 02:31:20
△ABC的三个内角值分别为A、B、C,当∠A=α时,2sin(A/2)-cos(B+C)取得最大值⑴求α 的值⑵如果∠A的对边等于2,求△ABC的面积的最大值
△ABC的三个内角值分别为A、B、C,当∠A=α时,2sin(A/2)-cos(B+C)取得最大值
⑴求α 的值
⑵如果∠A的对边等于2,求△ABC的面积的最大值
△ABC的三个内角值分别为A、B、C,当∠A=α时,2sin(A/2)-cos(B+C)取得最大值⑴求α 的值⑵如果∠A的对边等于2,求△ABC的面积的最大值
(1) 2sin(A/2)-cos(B+C)=2sin[(180-B-C)/2]-cos(B+C)=2cos((B+C)/2)-2[cos((B+C)/2)]^2+1,设(B+C)/2=t,则2sin(A/2)-cos(B+C)=2cos(t)-2[cos(t)]^2+1,t的取值范围为0
三角形面积为1/2*sinA*bc=4/sqrt(3)*sinBsinC=4/sqrt(3)*sinB*sin(120-B)
取最大值时B=60,最大值为sqrt(3)
2sin(A/2)-cos(B+C)=2sin(A/2)+cosA
=2sin(A/2)+1-2(sin(A/2))^2
=-2(sin(A/2)+1/2)^2+3/2
最大值为3/2,此时sin(A/2)+1/2＝0，即A/2=150°，A＝75°
由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCos75°
由于b^2+c^2－2bc>=0,所以b^2+c^2...
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2sin(A/2)-cos(B+C)=2sin(A/2)+cosA
=2sin(A/2)+1-2(sin(A/2))^2
=-2(sin(A/2)+1/2)^2+3/2
最大值为3/2,此时sin(A/2)+1/2＝0，即A/2=150°，A＝75°
由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCos75°
由于b^2+c^2－2bc>=0,所以b^2+c^2>=2bc
所以4＝a^2=b^2+c^2-2bcCos75°>=2bc(1-cos75)
所以bc<=2/(1-cos75)
所以面积＝1/2*bc*sinA<=1/2*2/(1-cos75)*sin75
=(2^(1/2)+6^(1/2))/(4+2^(1/2)-6^(1/2))
此即最大值
收起
（1）α =45°