Sn=1+1/2+1/3+1/4+……+1/n,问是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+……+S(n-1)=(Sn-1)·g(n)对于一切不小于2 的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,请说明理由.关
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 01:46:46
![Sn=1+1/2+1/3+1/4+……+1/n,问是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+……+S(n-1)=(Sn-1)·g(n)对于一切不小于2 的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,请说明理由.关](/uploads/image/z/5608097-17-7.jpg?t=Sn%3D1%2B1%2F2%2B1%2F3%2B1%2F4%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B1%2Fn%2C%E9%97%AE%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%85%B3%E4%BA%8En%E7%9A%84%E6%95%B4%E5%BC%8Fg%EF%BC%88n%EF%BC%89%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97S1%2BS2%2BS3%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2BS%28n-1%29%3D%EF%BC%88Sn-1%EF%BC%89%C2%B7g%EF%BC%88n%EF%BC%89%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%B8%80%E5%88%87%E4%B8%8D%E5%B0%8F%E4%BA%8E2+%E7%9A%84%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0n%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%3F%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E5%86%99%E5%87%BAg%EF%BC%88n%EF%BC%89%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F%2C%E5%B9%B6%E5%8A%A0%E4%BB%A5%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9B%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E8%AF%B7%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.%E5%85%B3)
Sn=1+1/2+1/3+1/4+……+1/n,问是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+……+S(n-1)=(Sn-1)·g(n)对于一切不小于2 的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,请说明理由.关
Sn=1+1/2+1/3+1/4+……+1/n,
问是否存在关于n的整式g(n),使得
S1+S2+S3+……+S(n-1)=(Sn-1)·g(n)
对于一切不小于2 的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,请说明理由.
关键是那个Sn怎么求,望大师赐教,
如果整个问题无法解答,求出Sn也可以.
老师竟出这么难的题,真没有人性!
Sn=1+1/2+1/3+1/4+……+1/n,问是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+……+S(n-1)=(Sn-1)·g(n)对于一切不小于2 的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,请说明理由.关
需要有极限,数列的知识 可求和是收敛,不可求和则发散
问题实质是证明数列Sn=1+1/2+1/3+...+1/n是发散的
任意取n,可令m=2n,有
{Sm-Sn}=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)大于或等于1/(n+n)+1/(n+n)+...+1/(n+n)=1/2 ,令a=1/2,则对任意的N,当n>N时候 都有S2n-Sn的绝对值要大于a=1/2
由柯西收敛准则知道Sn={1+1/2+1/3+...+1/n}发散
附 柯西收敛准则 数列收敛的充分必要条件是 对任意大于0的数a 存在一个大于0的数N,使得 m,n>N,时有 Sn-Sm的绝对值小于a 该准则可以理解 收敛数列的各项的值越到后面,彼此越接近,以至它们之间的差的绝对值可小雨任意给定的正数
即Sn为发散数列 没有极限不可求和
S1+S2+S3+……+S(n-2)=[S(n-1)-1]·g(n)
S1+S2+S3+……+S(n-1)=(Sn-1)·g(n)
可得[Sn-S(n-1)]g(n)=S(n-1)
这是调和级数,没有通项公式,有近似公式
1+1/2+1/3+……+1/n=lnn
ln是自然对数,
当n 趋于无穷时,
SN=lnn+0.5772157...
其中-0.5772157... 是欧拉常数
公式的推理过程如下:
设常数K
k>1,有ln[(k+1)/k]<1/k
全部展开
这是调和级数,没有通项公式,有近似公式
1+1/2+1/3+……+1/n=lnn
ln是自然对数,
当n 趋于无穷时,
SN=lnn+0.5772157...
其中-0.5772157... 是欧拉常数
公式的推理过程如下:
设常数K
k>1,有ln[(k+1)/k]<1/k
1+ln(2/1)+ln(3/2)+。。。+ln[n/(n-1)]推出
ln(n+1)<1+1/2+1/3+1/4+……+1/n=Sn
<1+ln(n)。
收起
Sn求不出来,那个级数是发散的。