作业帮设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2倍根号2.求圆的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 13:42:29
设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2倍根号2.求圆的方程
设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2倍根号2.求圆的方程
设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2倍根号2.求圆的方程
已知圆上的点A（2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,即圆心在直线x+2y=0上
所以,设圆心为（2a,-a）,R²=（2a-2）²+（-a-3）²
又知道与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2
所以,圆心到直线l得距离d=|3a+1|/√2=√(R²-2)
经转化,得（a-7）（a-3）=0
所以,a=3或7
经检验成立
故,圆方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244
从“对称点仍在这圆上”看出X+2Y=0经过圆心（圆心就可以设为（-2b，b））
所以可设圆的方程为（x+2b）^2+(y-b)^2=r^2
这里明显的有两个未知数：b和r
下面找两个方程：
1、A点可以带入得到一个方程（2+2b）^2+(3-b)^2=r^2
2、由（圆与直线X-Y+1=0相交的玄长为2倍根号2）看出
r^2＝弦...
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从“对称点仍在这圆上”看出X+2Y=0经过圆心（圆心就可以设为（-2b，b））
所以可设圆的方程为（x+2b）^2+(y-b)^2=r^2
这里明显的有两个未知数：b和r
下面找两个方程：
1、A点可以带入得到一个方程（2+2b）^2+(3-b)^2=r^2
2、由（圆与直线X-Y+1=0相交的玄长为2倍根号2）看出
r^2＝弦心距^2＋（√2）^2
而弦心距是X-Y+1=0到点（-2b，b）的距离
于是写出这个关系：r^2＝(│-2b-b+1│/√2)^2+2
即r^2＝（3b-1）^2/2+2
联立方程组求解得
b1=-3，b2=-7
r1=√52，r2=√202
所以圆的方程为
（x-6）^2+(y+3)^2=52
或（x-14）^2+(y+7)^2=202
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