在平面直角坐标系中,△ABC满足:∠C=90°,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时,点C随着在y轴上运动（1）当A在原点是,求原点O到点B的距离OB(2)当AO=OC是,求原点O

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 15:53:44

在平面直角坐标系中,△ABC满足:∠C=90°,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时,点C随着在y轴上运动（1）当A在原点是,求原点O到点B的距离OB(2)当AO=OC是,求原点O
在平面直角坐标系中,△ABC满足:∠C=90°,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,
当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时,点C随着在y轴上运动
（1）当A在原点是,求原点O到点B的距离OB
(2)当AO=OC是,求原点O到点B的距离OB
(3)求原点O到点B的距离BO的最大值,并确定此时图形应满足什么条件

在平面直角坐标系中,△ABC满足:∠C=90°,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时,点C随着在y轴上运动（1）当A在原点是,求原点O到点B的距离OB(2)当AO=OC是,求原点O
（1）当A在原点时,原点O到点B的距离OB=AB=根号5
(2)当AO=OC时,在直角△AOC中,2*AO平方=4=>AO=根号2；∠ACO=45°+∠ACB（90°）=>∠OCB=135°,如果你学了余弦定理,用那个公式套一下就出来了.
（3）.

当A在原点时，原点O到点B的距离OB=AB=根号5
(2)当AO=OC时，在直角△AOC中，2*AO平方=4=>AO=根号2；∠ACO=45°+∠ACB（90°）=>∠OCB=135°，如果你学了余弦定理，用那个公式套一下就出来了

（1）当A点在坐标原点时，如图，

AC在y轴上，BC⊥y轴，
所以OB=
AC2+BC2=
5．
目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．

（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
所以∠1=∠2=45°，OA=OC=
2．
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
则∠3=90°-∠ACD=90°-（90°-45°）=45°．又BC=1，
所以CD=BD=
22，BE=BD+DE=BD+OC=
3
22，
因此OB=
(
22)2+(
3
22)2=
5．

（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，

由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标
为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l2=OB2=cos2θ+（sinθ+2cosθ）2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2sin2θ+2（2cos2θ-1）=3+2sin2θ+2cos2θ=3+2
2[
22sin2θ+
22cos2θ]=3+2
2sin(2θ+
π4)
当θ=
π8时，l2max=3+2
2=(1+
2)2，所以lmax=1+
2．
解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以OE=
12AC=1．

在△ACB中，BC=1，CE=
12AC=1，∠BCE=90°，
所以BE=
2．
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+EB=1+
2，
若点O，E，B在一条直线上，
则OB=OE+EB=1+
2，
所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值，
最大值是1+
2．
当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时，
从下图可见，OE=1，EB=
2．∠CEB=45°，但CE=OE=1，
∠ECO=∠COE=
∠CEB2=
45°2=22.5°．