在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求求C到平面A1ABB1的距离.求二面角A1-AB-C的余弦值.若M,N分别为直线AA1B1C上动点,求MN的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 08:56:55
![在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求求C到平面A1ABB1的距离.求二面角A1-AB-C的余弦值.若M,N分别为直线AA1B1C上动点,求MN的最小值.](/uploads/image/z/6868476-36-6.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1ABC-A1B1C1%E4%B8%AD%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5AB%3DAC%3DAA1%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B75%2CBC%3D4%2C%E5%9C%A8A1%E5%9C%A8%E5%BA%95%E9%9D%A2ABC%E7%9A%84%E6%8A%95%E5%BD%B1%E6%98%AF%E7%BA%BF%E6%AE%B5BC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9O%2C%E6%B1%82%E6%B1%82C%E5%88%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2A1ABB1%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB.%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A1-AB-C%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%80%BC.%E8%8B%A5M%2CN%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E7%BA%BFAA1B1C%E4%B8%8A%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E6%B1%82MN%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求求C到平面A1ABB1的距离.求二面角A1-AB-C的余弦值.若M,N分别为直线AA1B1C上动点,求MN的最小值.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求
求C到平面A1ABB1的距离.求二面角A1-AB-C的余弦值.若M,N分别为直线AA1B1C上动点,求MN的最小值.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求求C到平面A1ABB1的距离.求二面角A1-AB-C的余弦值.若M,N分别为直线AA1B1C上动点,求MN的最小值.
1、连结AO,A1O,
∵O是A1在平面ABC上的投影,
∴OA1⊥平面ABC,
∴A1O⊥AO,A1O⊥BC,
∵AB=AC=√5,
∴△ABC是等腰△,
∵BO=OC,(已知),
∴AO⊥OB,
OB=BC/2=2,
根据勾股定理,AO=√(AB^2-OB^2)=√(5-4)=1,
∴S△ABC=BC*AO/2=4*1/2=2,
A1O=√(AA1^2-AO^2)=2,
∴VA1-ABC=S△ABC*A1O/3=2*2/3=4/3,
∵同底等高的三棱锥是三棱柱体积的1/3,
VA1-ABC=VC-A1B1C1=V柱ABC-A1B1C1/3,
∴VC-A1B1B=V柱ABC-A1B1C1/3,
∴VC-A1B1B=VA1-ABC=4/3,
设C至平面AA1B1B距离为d,
A1B=√(A1O^2+OB^2)=√(4+4)=2√2,
A1B1=BB1=√5,
作B1M⊥A1B,交A1B于M,
BM=A1B/2=√2,
B1M=√(5-2)=√3,
∴S△A1B1B=A1B*B1M/2=2√2*√3/2=√6,
VC-A1BB1=d*S△A1B1B/3=√6d/3,
√6d/3=4/3,
∴ d=4/√6=2√6/3.
2、设二面角A1-AB-C的平面角为θ,
∵△AOB是△A1AB在平面ABC上的投影,
∴S△AOB=S△A1AB*cosθ,
S△AOB=AO*BO/2=1*2/2=1,
由前所述,S△A1AB=S△A1B1B=√6,(二△全等),
∴cosθ=1/√6=√6/6.
∴二面角A1-AB-C的余弦值为√6/6.
3、∵AA1//BB1,
M∈AA1,N∈BB1,
MN的最小值就是平行线的距离,
从平行线段的任一点作另一线段的垂线段,则就是二平行线的距离,即MN的最小值,
在△A1AB中,作BQ⊥AA1,
S△A1AB=√6,
S△A1AB=AA1*BQ/2=√5*BQ/2=√6,
∴BQ=2√6/√5=2√30/5.
∴MN的最小距离为2√30/5.
稍等.正上传图