如图,在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=60度,E,F,G分别是OA,OB,CD的中点,判断三角形EFG的形状.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/22 08:36:38

如图,在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=60度,E,F,G分别是OA,OB,CD的中点,判断三角形EFG的形状.
如图,在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=60度,E,F,G分别是OA,OB,CD的中点,
判断三角形EFG的形状.

如图,在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=60度,E,F,G分别是OA,OB,CD的中点,判断三角形EFG的形状.
连接DE,FC,
由等腰梯形ABCD易知∠CAD=∠BDA=60°
△AOD为等边三角形,E是OA中点
DE⊥OA
在RT△DEC中,EG是斜边DC中线
EG=1/2DC,因,AB=DC
EG=1/2DC=1/2AB
EF是△AOB,中位线
EF=1/2AB,因EG=1/2AB
EF=EG
同理FG=1/2DC=1/2AB
EF=EG=FG
所以,△EFG为等边三角形

如图，作连接线EF、ED、FC。

据题意，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC，所以AB=CD，∠CAB=∠BDC。

又等腰梯形ABCD中，∠ADB=60度，易求得ΔOAD和ΔOBC皆为正三角形。

又因E、F、G分别为OA、OB、DC的中点，

易知EF//AB，∠CEF=∠CAB=∠CDB，

且EF=(1/2)AB=(1/2)CD=DG------（1）

由∠CEF=∠CDB，可知四边形CDEF共圆，

又因E是正三角形AO边的中点，所以∠DEC=90度，所以AC为直径，

其半径=GE=GF=GD，

结合（1）得：GE=GF=EF

故三角形EFG的形状是正三角形。

全部展开

分别取OC、OD的中点P、Q，连接FP、PG、GQ、QE
注意到等腰梯形ABCD中，容易证明△BAD≌△CDA，所以∠CAD=∠BDA=60°
所以△AOD为等边三角形，设其边长为a，即AO=OD=DA=a
又因为AD∥BC，所以∠DBC=∠ADB=60°，∠ACB=∠CAD=60°，
所以△BOC为等边三角形，设其边长为b，即BO=OC=CB=b
由于E、F、G、P、Q分别为AO、BO、CD、CO、DO的中点，
容易发现OE=EQ=GP=a/2，OF=GQ=PF=b/2，∠EOF=∠EQG=∠FPG=120°
因此△EOF≌△EQG，同时GPF≌△EQG
从而EF=EG=GF，△EFG为等边三角形。

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