作业帮已知,α,β(α>β)是一元二次方程x^2-x-1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α^2+β^2,……Sn=α^n+β^n.根据根的定义,有α^2-α-1=0,β^2-β-1=0,将两式相加,得（α^2+β^2）-（α+β）-2=0于是得S2-S1-2=0,猜想,当n≥3时,Sn,S
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 17:24:40
已知,α,β(α>β)是一元二次方程x^2-x-1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α^2+β^2,……Sn=α^n+β^n.根据根的定义,有α^2-α-1=0,β^2-β-1=0,将两式相加,得（α^2+β^2）-（α+β）-2=0于是得S2-S1-2=0,猜想,当n≥3时,Sn,S
已知,α,β(α>β)是一元二次方程x^2-x-1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α^2+β^2,……Sn=α^n+β^n.根据
根的定义,有α^2-α-1=0,β^2-β-1=0,将两式相加,得（α^2+β^2）-（α+β）-2=0于是得S2-S1-2=0,猜想,当n≥3时,Sn,Sn-1,Sn-2之间满足的数量关系,并证明
根据上面的猜想,求(（1+根号5）/2)^8+(（1-根号5）/2)8的值
已知,α,β(α>β)是一元二次方程x^2-x-1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α^2+β^2,……Sn=α^n+β^n.根据根的定义,有α^2-α-1=0,β^2-β-1=0,将两式相加,得（α^2+β^2）-（α+β）-2=0于是得S2-S1-2=0,猜想,当n≥3时,Sn,S
由于Sn=α^n+β^n=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ^(n-1)+β^n
=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ(β^(n-2)+α^(n-2))+αβα^(n-2)+β^n
=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ(β^(n-2)+α^(n-2))+β(α^(n-1)+β^(n-1))
=(α+β)S(n-1)-αβS(n-2).
(（1+根号5）/2)与(（1-根号5）/2）是方程x^2-x-1=0的两个根,
所以上式中α+β=1,αβ=-1,所以Sn=S(n-1)+S(n-2).
而S1=1,S2=3,因此S3=4,S4=7,S5=11,S6=18,S7=29,S8=47.
所以(（1+根号5）/2)^8+(（1-根号5）/2)8=47.
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