作业帮已知矩形ABCD中,AB=√2,AD=1,将△ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC上,取BD的中点E,求点D到平面ACE的距离.求求你们了 我实在做不出来 都快哭了...
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 05:56:03
已知矩形ABCD中,AB=√2,AD=1,将△ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC上,取BD的中点E,求点D到平面ACE的距离.求求你们了 我实在做不出来 都快哭了...
已知矩形ABCD中,AB=√2,AD=1,将△ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC上,取BD的中点E,
求点D到平面ACE的距离.求求你们了 我实在做不出来 都快哭了...
已知矩形ABCD中,AB=√2,AD=1,将△ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC上,取BD的中点E,求点D到平面ACE的距离.求求你们了 我实在做不出来 都快哭了...
请不要着急!
在折叠后的三棱锥上,作AH⊥平面BCD,
则H在CD上,即是A在平面BCD上的射影,
AD=1,AB=√2,BD=√3,
∵BC⊥CD,而AH∈平面ACD,
AH⊥平面BCD,
∴平面ACD⊥平面BCD,
∴BC⊥平面ACD,
∵AC∈平面ACD,
∴BC⊥AC,
根据勾股定理,
AC=1,△ABC是等腰RT△,
根据勾股逆定理,
△ADC也是等腰RT△,
AE=BD/2=√3/2,
CE=BD/2=√3/2,
要求出D至平面ACE的距离,可以用等体积法,求出三棱锥A-DCE体积,再求出三角形ACE面积,即可求出D至平面ACE的距离.
在三角形DAC中,
AH=CD/2=√2/2,
S△DCE= S△BCD/2=√2/2/2=√2/4,
V三棱锥A-CDE=AH* S△DCE/3=1/12,
在平面ACE中作EF⊥AC,
三角形AEC是等腰三角形,
EF=√2/2,
S△ACE=AC*EF/2=√2/4,
设D点至平面ACE距离为d,
VD-ACE= S△ACE*d/3=d√2/12,
V三棱锥A-CDE= V三棱锥D-ACE,
d√2/12=1/12,
d=√2/2,
∴D至平面ACE距离为√2/2.
设A的射影为F，则有AF⊥平面BCD，又因为FC⊥BC，所以AC⊥BC，根据勾股定理可得AC＝1＝AD，所以
AF垂直平分CD，AF＝1/2CD＝√2/2，
而AE＝CE＝(1/2)BD＝√3/2，
S△AEC＝(1/2)AC*√[AE??－(1/2AC)??]＝√2/4
S△DEC＝(1/2)S△BCD＝√2/4
令D到平面ACE的距离为h，根据体积公式，...
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设A的射影为F，则有AF⊥平面BCD，又因为FC⊥BC，所以AC⊥BC，根据勾股定理可得AC＝1＝AD，所以
AF垂直平分CD，AF＝1/2CD＝√2/2，
而AE＝CE＝(1/2)BD＝√3/2，
S△AEC＝(1/2)AC*√[AE??－(1/2AC)??]＝√2/4
S△DEC＝(1/2)S△BCD＝√2/4
令D到平面ACE的距离为h，根据体积公式，角锥ACDE的体积:
V=(1/3)S△AEC*h＝(1/3)S△DEC*AF
所以h＝AF＝√2/2
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