设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 04:41:10
![设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.](/uploads/image/z/7078892-68-2.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax%5E3%2Bbx%2Bc%28a%E4%B8%8D%E7%AD%89%E4%BA%8E0%EF%BC%89%E4%B8%BA%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%85%B6%E5%9B%BE%E5%83%8F%E5%9C%A8%E7%82%B9%EF%BC%881%2Cf%281%29%29%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFx-6y-7%3D0%E5%9E%82%E7%9B%B4%2C%E5%AF%BC%E5%87%BD%E6%95%B0f%27%28x%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B8%BA-12%2C%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F.)
设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.
设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,
导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.
设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.
f(x)为R上的奇函数,从而 f(0)=c=0
求导,f'(x)=3ax²+b,
因为直线x-6y-7=0的斜率为1/6,
又点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直
从而,f'(1)=3a+b=-6
又导函数f'(x)=3ax²+b有最小值为-12,从而 a>0且b=-12
所以 3a-12=-6,a=2
f(x)=2x³-12x
由于函数为奇函数,则:C=0
f(x)在(1,f(1))的切线与直线垂直,则此时切线的斜率为:k=-6
又:f'(x)=3ax^2+b
则:3a+b=-6
导函数在x=0时能取到最小值,则:b=-12
所以:a=2
所以:函数的表达式为:f(x)=2x^3-12x
f(x)=ax^3+bx+c is odd function
f(x) =-f(-x)
=> c=0
slope of line : x-6y-7=0 = 1/6
f(x)=ax^3+bx
f'(x) =3ax^2+b
f'(1)= 3a+b = -6 (1)
f''(x) =6ax =0
x=0
f''(0)= b=-12 (2)
from (1) (2)
a=2
f(x)=2x^3-12