设a、b为非零向量,且|b|=2,(a,b)夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x (x趋向于0)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 18:48:11
![设a、b为非零向量,且|b|=2,(a,b)夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x (x趋向于0)](/uploads/image/z/7106978-2-8.jpg?t=%E8%AE%BEa%E3%80%81b%E4%B8%BA%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E5%90%91%E9%87%8F%2C%E4%B8%94%7Cb%7C%3D2%2C%EF%BC%88a%2Cb%EF%BC%89%E5%A4%B9%E8%A7%92%3D60%C2%B0%2C%E6%B1%82lim%28%7Ca%2Bxb%7C-%7Ca%7C%29%2Fx+%EF%BC%88x%E8%B6%8B%E5%90%91%E4%BA%8E0%EF%BC%89)
设a、b为非零向量,且|b|=2,(a,b)夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x (x趋向于0)
设a、b为非零向量,且|b|=2,(a,b)夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x (x趋向于0)
设a、b为非零向量,且|b|=2,(a,b)夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x (x趋向于0)
【解】应该说明x是个实数,
而xb是将向量b扩大或缩小x倍
如此用向量的平行四边形法则和余弦定理
|a+xb|²=|a|²+|xb|²-2|a||xb|cos120°
所以:|a+xb|=根号(|a|²+4x²+2|a|x)
另一方面:lim[x-0](|a+xb|-|a|)/x,显然在x趋于0时,分子和分母都是0,为0/0型不定式极限,由罗必塔法则,将分子与分母分别求导
既:lim[x-0](|a+xb|-|a|)/x=lim[x-0](|a+xb|-|a|)'/x'=lim[x-0](4x+|a|)/根号(|a|²+4x²+2|a|x)=1
【OK】
∵∴=120°
la+xb| = √(|a|² + x²|b|² - 2x|a||b|cos120°) = √(|a|² + x²|b|² + x|a||b|)
∴(|a+xb| - |a|)/x = (√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|...
全部展开
∵∴=120°
la+xb| = √(|a|² + x²|b|² - 2x|a||b|cos120°) = √(|a|² + x²|b|² + x|a||b|)
∴(|a+xb| - |a|)/x = (√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|) - |a|)/x,
= (x|b|² + |a||b|)/(√{[|a|² + x²|b|² + x|a||b|] + |a|}
∴当x→0时,lim(|a+xb|-|a|)/x =lim|(x|b|² + |a||b|)/{[√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|] + |a|}=|a||b|/2lal
=lbl/2
=1
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